Question

Помогите решить, после лета ничего не помню) 2cos^2x+cos2x = 2cosx + 1 найти все корни на промежутке [-2п;-п/2]

Answer 1

Юзаем формулу: cos2x = 2cos²x - 1

4cos²x - 2cosx - 2 = 0

2cos²x - cosx - 1 = 0

cosx = ½ ± 3/2 ∈ {2; -1}; ясно, что |cosx| ≤ 1 => 2 - не подходит

cosx = -1

x = π + 2πn, n ∈ ℤ.

Корни на промежутке [-2π; -π/2]: -π

Answer 2

Дано уравнение: 2cos^2x + cos2x = 2cosx + 1.

Для начала, заменим cos2x на его эквивалентное выражение с помощью формулы двойного угла: cos2x = 2cos^2x - 1.

Подставим это выражение в исходное уравнение: 2cos^2x + (2cos^2x - 1) = 2cosx + 1.

Упростим уравнение: 4cos^2x = 2cosx + 2.

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: 4cos^2x - 2cosx - 2 = 0.

Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

a = 4, b = -2, c = -2.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 4 * (-2) = 4 + 32 = 36.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня: x1,2 = (-(-2) ± √36) / (2 * 4) = (2 ± 6) / 8.

x1 = (2 + 6) / 8 = 8 / 8 = 1.

x2 = (2 - 6) / 8 = -4 / 8 = -1/2.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень: x = -b / (2a).

x = -(-2) / (2 * 4) = 2 / 8 = 1/4.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Теперь ограничимся промежутком [-2π; -π/2].

В данном промежутке есть два корня: x1 = 1 и x2 = -1/2.

Ответ: корни уравнения 2cos^2x + cos2x = 2cosx + 1 на промежутке [-2π; -π/2] равны x1 = 1 и x2 = -1/2.