Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции.y=х^3-15х^2+27х+3 на промежутке (-3;12)

Answer 1

$y'=3 x^{2} -30x+27=0$
$x^{2} -10x+9=0$
$x_{1}=9$
$x_{2}=1$
$f(1)=1-15+27+3=16$ Наибольшее значение функции
$f(9)= 9^{3}-15* 9^{2}+27*9+3= -240$ Наименьшее значение функции

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^3 - 15x^2 + 27x + 3 на промежутке (-3, 12), мы можем использовать процесс определения экстремумов.

Нахождение критических точек:

1. Найдем производную функции y по переменной x: y' = 3x^2 - 30x + 27. 2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции.

3x^2 - 30x + 27 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем применить квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 3, b = -30 и c = 27. Используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac и формулу корней x = (-b ± √D) / (2a).

D = (-30)^2 - 4(3)(27) = 900 - 324 = 576 √D = √576 = 24

x = (-(-30) ± 24) / (2(3)) = (30 ± 24) / 6 = (30 + 24) / 6 = 54 / 6 = 9 = (30 - 24) / 6 = 6 / 6 = 1

Таким образом, критические точки функции y находятся при x = 1 и x = 9.

Определение экстремумов:

3. Проверим значения функции y на концах промежутка (-3, 12) и в найденных критических точках (x = 1 и x = 9). Вычислим значение функции y в этих точках и выберем наибольшее и наименьшее значение.

Для x = -3: y = (-3)^3 - 15(-3)^2 + 27(-3) + 3 = -27 - 135 - 81 + 3 = -240

Для x = 12: y = (12)^3 - 15(12)^2 + 27(12) + 3 = 1728 - 2160 + 324 + 3 = -105

Для x = 1: y = (1)^3 - 15(1)^2 + 27(1) + 3 = 1 - 15 + 27 + 3 = 16

Для x = 9: y = (9)^3 - 15(9)^2 + 27(9) + 3 = 729 - 1215 + 243 + 3 = -240

Наибольшее значение функции на промежутке (-3, 12) равно 16, а наименьшее значение равно -240.

Таким образом, наибольшее значение функции y = x^3 - 15x^2 + 27x + 3 на промежутке (-3, 12) равно 16, а наименьшее значение равно -240.