Question

Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно выбрать так, чтобы сумма любых трех из них была простым числом?

Answer 1

4 числа, например, 1, 3, 7, 9 дают простые числа 11, 13, 
17 и 19. Если бы чисел было не менее 5, то среди них либо нашлись три числа с разными остатками (0, 1 и 2) при делении на 3, либо три числа с одинаковым остатком, тогда сумма этих трёх чисел делилась бы на 3 и была больше 3, т.е. не являлась бы простым числом.

Answer 2

Чтобы сумма любых трех чисел была простым числом, выберем набор чисел, в котором все числа, кроме одного, будут иметь один и тот же остаток при делении на 3. Такой набор чисел можно получить, выбрав одно число, кратное 3, и остальные два числа, которые будут иметь остаток 1 и 2 при делении на 3.

Предположим, что наибольшее число, которое можно выбрать, равно N. Тогда: 1) N должно быть кратным 3, чтобы можно было выбрать еще два числа, имеющих остатки 1 и 2 при делении на 3. 2) Сумма N, N-1 и N-2 должна быть простым числом. Если N-1 или N-2 кратны 3, то сумма этих чисел будет кратна 3 и не может быть простым числом. Поэтому N-1 и N-2 не могут быть кратны 3. Это означает, что N-1 и N-2 должны быть простыми числами. Таким образом, N не может быть простым числом, иначе N-1 и N-2 будут кратны 3.

Следовательно, наибольшее число, которое можно выбрать, будет наименьшим составным числом, не кратным 3. Это число равно 4. В наборе чисел {3, 2, 1} сумма любых трех чисел будет равна 6, которое является простым числом.

Таким образом, наибольшее количество различных натуральных чисел, которое можно выбрать, чтобы сумма любых трех из них была простым числом, равно 3.