Question

Решите уравнения cos5xcosx=cos4x

Answer 1

Решение..................

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

cos(5x)cos(x) = cos(4x)

2cos^2(5x)cos^2(x) - cos^2(5x) = 2cos^2(4x) - 1

Перепишем данное уравнение, заменив cos^2(5x) на a и cos^2(4x) на b:

2a*cos^2(x) - a = 2b - 1

2a*cos^2(x) - 2b = a - 1

2a*(1 - sin^2(x)) - 2b = a - 1

2a - 2a*sin^2(x) - 2b = a - 1

-2a*sin^2(x) - 2b = a - 2

-2a*sin^2(x) = a - 2 + 2b

2a*sin^2(x) = 2 - a - 2b

sin^2(x) = (2 - a - 2b) / (2a)

sin(x) = ±√((2 - a - 2b) / (2a))

Теперь найдем значения a и b. Подставим в исходное уравнение cos(5x)cos(x) = cos(4x) значения sin(x) = ±√((2 - a - 2b) / (2a)) и решим полученное уравнение относительно a и b.

cos(5x)cos(x) = cos(4x)

cos(5x)cos(x) - cos(4x) = 0

cos(x)(cos(4x) - cos(5x)) = 0

Так как cos(x) ≠ 0, то у нас остается:

cos(4x) - cos(5x) = 0

2cos^2(2x) - 1 - 2cos^2(2x) + 1 = 0

-2cos^2(2x) = 0

cos^2(2x) = 0

cos(2x) = 0

2x = π/2 + kπ или 2x = 3π/2 + kπ, где k - целое число

x = π/4 + (kπ)/2 или x = 3π/4 + (kπ)/2, где k - целое число

Теперь, зная значения x, подставим их в sin(x) = ±√((2 - a - 2b) / (2a)) и найдем значения sin(x).

Таким образом, решение уравнения cos(5x)cos(x) = cos(4x) будет зависеть от значений sin(x).