Question

1.Упростите выражение sin 2α * cos α - cos 2α * sin α 2.сократите дробь cos 2α + 1\ cos²α

Answer 1

$1)~~ \sin2 \alpha \cos\alpha -\cos2\alpha \sin\alpha =\sin(2\alpha -\alpha )=\sin\alpha \\ \\ 2)~~ \dfrac{\cos2\alpha +1}{\cos^2\alpha } = \dfrac{2\cos^2\alpha -1+1}{\cos^2\alpha } =2$

Answer 2

1. Для упрощения выражения sin 2α * cos α - cos 2α * sin α, воспользуемся формулами тригонометрии.

Используем формулу двойного угла для синуса: sin 2α = 2 * sin α * cos α

Теперь подставим это выражение в исходное: 2 * sin α * cos α * cos α - cos 2α * sin α

Упрощаем: 2 * sin α * cos² α - cos 2α * sin α

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos 2α = 2 * cos² α - 1

Подставляем это выражение в предыдущее: 2 * sin α * cos² α - (2 * cos² α - 1) * sin α

Раскрываем скобки: 2 * sin α * cos² α - 2 * cos² α * sin α + sin α

Меняем порядок слагаемых: sin α + 2 * sin α * cos² α - 2 * cos² α * sin α

2. Для сокращения дроби cos 2α / (1 + cos² α) воспользуемся формулой тангенса: tan² α = (sin α / cos α)²

Подставляем это выражение в исходную дробь: cos 2α / (1 + cos² α) = (2 * cos² α - 1) / (1 + (sin α / cos α)²)

Упрощаем: (2 * cos² α - 1) / (1 + sin² α / cos² α)

Домножаем числитель и знаменатель на cos² α: (2 * cos² α - 1) * cos² α / (cos² α + sin² α)

Раскрываем скобки: (2 * cos⁴ α - cos² α) / (cos² α + sin² α)

Теперь используем тождество Пифагора: cos² α + sin² α = 1

Подставляем это выражение в предыдущее: (2 * cos⁴ α - cos² α) / 1

Упрощаем: 2 * cos⁴ α - cos² α