Question

Пожалуйста помогите решить Вычислите производные y: y=arccosx / √ x , y=arcsin √ x/x+1 / - знак дроби √ - корень

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{arccosx}{\sqrt{x}}\\\\y'= \frac{ -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \sqrt{x}-arccosx\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{-2x-arccosx\, \cdot \sqrt{1-x^2}}{2x\cdot \sqrt{x\cdot (1-x^2)}}$

$2)\; \; y=arcsin \frac{\sqrt{x}}{x+1}\\\\y'= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{(x+1)^2}}}\cdot \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}\cdot \frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}\cdot (x+1)^2}=\\\\=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x-1}}\cdot \frac{1-x}{2\sqrt{x}\cdot (x+1)^2} = \frac{1-x^2}{2(x+1)^2\cdot \sqrt{x(x^2+x+1)}}$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Вычисление производной функции y = arccos(x) / √(x): Для начала, заметим, что функция y является отношением двух функций: arccos(x) и √(x). Для удобства, обозначим первую функцию как u(x) = arccos(x), а вторую как v(x) = √(x). Используя правило дифференцирования для отношения функций, получаем: y' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2

Для нахождения производных u'(x) и v'(x), воспользуемся следующими правилами: - Производная функции arccos(x) равна -1 / √(1 - x^2). - Производная функции √(x) равна 1 / (2√(x)).

Таким образом, у нас получается: u'(x) = -1 / √(1 - x^2) v'(x) = 1 / (2√(x))

Подставляя значения производных в формулу для y', получаем: y' = (-1 / √(1 - x^2)) * √(x) - arccos(x) * (1 / (2√(x))) / (√(x))^2

Упрощаем выражение: y' = (-√(x) / √(1 - x^2)) - arccos(x) / (2x)

Таким образом, производная функции y = arccos(x) / √(x) равна: y' = (-√(x) / √(1 - x^2)) - arccos(x) / (2x).

2. Вычисление производной функции y = arcsin(√(x) / (x + 1)) / -√(√(x) - корень): Аналогично предыдущему случаю, разобьем функцию на две функции: u(x) = arcsin(√(x) / (x + 1)) и v(x) = -√(√(x)). Используя правило дифференцирования для отношения функций, получаем: y' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2

Для нахождения производных u'(x) и v'(x), воспользуемся следующими правилами: - Производная функции arcsin(x) равна 1 / √(1 - x^2). - Производная функции √(x) равна 1 / (2√(x)).

Таким образом, у нас получается: u'(x) = (1 / √(1 - (√(x) / (x + 1))^2)) * ((1 / (2√(x))) / (x + 1)) v'(x) = -(1 / (2√(x)))

Подставляя значения производных в формулу для y', получаем: y' = ((1 / √(1 - (√(x) / (x + 1))^2)) * ((1 / (2√(x))) / (x + 1))) * (-√(√(x))) - arcsin(√(x) / (x + 1)) * (1 / (2√(x))) / (-√(√(x)))^2

Упрощаем выражение: y' = (-√(√(x)) / √(1 - (√(x) / (x + 1))^2)) - arcsin(√(x) / (x + 1)) / (2√(x)(x + 1))

Таким образом, производная функции y = arcsin(√(x) / (x + 1)) / -√(√(x) - корень) равна: y' = (-√(√(x)) / √(1 - (√(x) / (x + 1))^2)) - arcsin(√(x) / (x + 1)) / (2√(x)(x + 1)).