Question

Умоляю, помогите решить: Дифференциальное уравнение

Answer 1

Разделим обе части уравнения на x
$y'- \dfrac{y}{x(x+1)} =1$
Классификация: дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$
$u'v+uv'- \dfrac{uv}{x(x+1)} =1\\ \\ \\ u'v+u\bigg(v'- \dfrac{v}{x(x+1)} \bigg)=1$
Уравнение Бернулли состоит из двух этапов.
1) Предположим, что второе слагаемое равняется нулю:
$v'- \dfrac{v}{x(x+1)} =0\\ \\ \\ v'= \dfrac{v}{x(x+1)}$
Это уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам:
$\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{x(x+1)}$
Разделим переменные
$\dfrac{dv}{v} = \dfrac{dx}{x(x+1)}$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
$\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } \, = \int\limits { \frac{1}{x^2+x} } \, dx \\ \\ \ln|v|=\ln\bigg| \frac{x}{x+1}\bigg|\\ \\ \\ v= \frac{x}{x+1}$

2) Зная v, найдем u(x)
$u'v=1\\ \\ u'\cdot \dfrac{x}{x+1} =1\\ \\ u'= \dfrac{x+1}{x} =1+ \dfrac{1}{x}$
Проинтегрируем обе части уравнения:
$u= \displaystyle \int\limits {\bigg(1+ \dfrac{1}{x} \bigg)} \, dx =x+\ln|x|+C$

Чтобы записать общее решение исходного уравнения, необходимо выполнить обратную замену.

$y=uv=\bigg(x+\ln|x|+C\bigg)\cdot \dfrac{x}{x+1}$


Ответ: $\bigg(x+\ln|x|+C\bigg)\cdot \dfrac{x}{x+1}$

Answer 2

Solving the Differential Equation

The given differential equation is in the form of a second-order linear homogeneous differential equation. Let's solve it step by step.

1. First Differential Equation: The given differential equation is: \[2(dx + dy) + (xdy + ydx) = 0\]

The solution to this equation is: \[2(x + y) + xy = C\]

Where \(C\) is a constant.

2. Second Differential Equation: The given differential equation is: \[y'' - 4y = 8x\] with initial conditions \(y(0) = 2\) and \(y'(0) = 3\).

To solve this, we first solve the associated homogeneous equation: \[y'' - 4y = 0\] The solution to this equation is: \[y = Ae^{2x} + Be^{-2x}\]

Then, we find a particular solution for the non-homogeneous equation: \[y = Cx + Dx + Ex + F\]

Where \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), and \(F\) are constants to be determined.

The initial conditions can be used to find the values of the constants \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), and \(F\).

The solution to the given second-order differential equation with the initial conditions is: \[y = 2e^{2x} - 4x + 3\] This is the solution to the given differential equation with the provided initial conditions.

I hope this helps! If you have any further questions, feel free to ask.