Question

Найти промежутки монотонности функции : y=x^3+3x^2-9x+1

Answer 1

Y`=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=0
x1=x2=-2 U x1*x2=-3
x1=-3 U x2=1
           +                _                +
--------------(-3)--------------(1)-------------------
возр                убыв            возр

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1, мы сначала найдем ее производную и проанализируем знаки производной на интервалах.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1, мы возьмем производную каждого члена по отдельности. Производная степенной функции x^n имеет вид d/dx (x^n) = n*x^(n-1).

Итак, возьмем производные каждого члена:

y' = d/dx (x^3) + d/dx (3x^2) - d/dx (9x) + d/dx (1) = 3x^2 + 6x - 9

Анализ знаков производной

Теперь, чтобы найти промежутки монотонности функции, мы должны проанализировать знаки производной на интервалах.

Для этого решим неравенство y' > 0:

3x^2 + 6x - 9 > 0

Для удобства, мы можем разделить это неравенство на 3:

x^2 + 2x - 3 > 0

Теперь найдем корни уравнения x^2 + 2x - 3 = 0:

(x + 3)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = -3 и x = 1.

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

| интервал | -∞ | -3 | 1 | +∞ | |:-----------:|:-----:|:----:|:---:|:----:| | y' > 0 | - | + | + | + |

Промежутки монотонности

Из таблицы знаков производной, мы видим, что производная положительна на интервалах (-∞, -3) и (1, +∞). Это значит, что функция y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 монотонно возрастает на этих интервалах.

Таким образом, промежутки монотонности функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 следующие:

1. Функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -3). 2. Функция монотонно возрастает на интервале (1, +∞).

Это означает, что значения функции y увеличиваются при увеличении значения x на этих интервалах.