Question

1.Найдите значение производной функции f(x)=ln(5x+4), в точке x0=2 2. найдите корень уравнения lg(3x+4)=2lg x 3. розвяжите уравнение lg^(2) x-3lg x > -2

Answer 1

1. f(x)=ln(5x+4), в точке x0=2
f'(x)=1/(5x+4) * (5x+4)'= 1/(5x+4) *5= 5/(5x+4).
f'(2)=5/(5*2+4)=5/14.

2.lg(3x+4)=2lg x
lg(3x+4)=lgx² (двойка идет в степень)
Так как логарифмы с одинаковым оснаванием и они равны, то можно прировнять подлогарифмические выражегия
3х+4=х²
х²-3х-4=0
По ьеореме Виета
х1х2=-4
х1+х2=3
х1=-1 х2=4
ОДЗ х>0 и 3х+4>0, т.е
х>0 и х>-4/3, т.е просто х>0.
Тогда х1 нас не удовлетворяет.
Ответ: 4

3. lg^(2) x-3lg x = -2
Вводим замену lgx= t
t²-3t+2=0
По т. Виета
t1•t2=2
t1+r2=3
t1=1
t2=2, возвращаемся к замене
1. lgx=1
(lg это десятичный логарифм, т.е. основание у него 10, еще мы знаем что логарифм у которого основание равно подлогарифмическому выражению равен 1)
lgx=lg10 (мы 1 меняем на lg10)
x=10
2. lgx=2
lgx=2lg10
lgx=lg10²
x=10²
x=100.
Ответ: 10; 100.

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи по очереди:

1. Найдем значение производной функции f(x) = ln(5x + 4) в точке x0 = 2.

Для нахождения производной логарифмической функции применим правило дифференцирования для функции ln(u), где u = 5x + 4:

Формула: Если f(x) = ln(u), то f'(x) = (1/u) * u'

Производная функции f(x) = ln(5x + 4) будет равна:

f'(x) = (1/(5x + 4)) * (d(5x + 4)/dx)

Вычислим производную d(5x + 4)/dx: d(5x + 4)/dx = 5

Теперь подставим это значение в формулу для производной функции f(x):

f'(x) = (1/(5x + 4)) * 5

Выразим значение производной в точке x0 = 2:

f'(2) = (1/(5*2 + 4)) * 5 = (1/14) * 5 = 5/14

Таким образом, значение производной функции f(x) = ln(5x + 4) в точке x0 = 2 равно 5/14.

2. Найдем корень уравнения lg(3x + 4) = 2lg(x + 3).

Для начала, преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Мы знаем, что lg(a) = log10(a) и lg(b) = log10(b). Также, lg(a) = log10(a)/log10(10) = log10(a)/1 = log10(a). Используя эти свойства, преобразуем уравнение:

lg(3x + 4) = 2lg(x + 3) log10(3x + 4) = 2 * log10(x + 3) log10(3x + 4) = log10((x + 3)^2)

Теперь можно приравнять аргументы логарифмов:

3x + 4 = (x + 3)^2

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратичному виду:

3x + 4 = x^2 + 6x + 9 x^2 + 6x - 3x + 9 - 4 = 0 x^2 + 3x + 5 = 0

Это квадратное уравнение. Для его решения можно использовать квадратное уравнение:

Формула: Для уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, корни можно найти с помощью формулы: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае, a = 1, b = 3, c = 5. Подставим эти значения в формулу и найдем корни:

x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 1 * 5)) / (2 * 1) x = (-3 ± √(9 - 20)) / 2 x = (-3 ± √(-11)) / 2

Здесь мы столкнулись с отрицательным значением под корнем, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, уравнение lg(3x + 4) = 2lg(x + 3) не имеет решений в области действительных чисел.

3. Решим уравнение lg^2(x) - 3lg(x) > -2.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = lg(x). Тогда уравнение примет вид:

u^2 - 3u > -2

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к квадратному виду:

u^2 - 3u + 2 > 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Можно использовать методы графического представления или представить его в виде произведения:

(u - 1)(u - 2) > 0

Чтобы найти значения u, при которых это неравенство выполняется, рассмотрим знаки выражения (u - 1) и (u - 2) в каждом интервале:

u < 1: (-) * (-) > 0 - неверно 1 < u < 2: (+) * (-) < 0 - верно u > 2: (+) * (+) > 0 - неверно

Итак, неравенство выполняется только в интервале 1 < u < 2. Но мы хотим найти значения x, а не u. Вспомним, что u = lg(x). Значит, неравенство выполняется при:

1 < lg(x) < 2

Теперь решим это неравенство относительно x:

10^1 < x < 10^2 10 < x < 100

Таким образом, решением уравнения lg^2(x) - 3lg(x) > -2 является интервал 10 < x < 100.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!