Question

Помогите пожалуйста! исследуйте на максимум и минимум функцию a) y= x/2-x 4; б) у=х^3-3x в) у=2sinx+cos2x г) у=х-tgx д) x^3-3x^2-45x+1 на промежутке [0,6] и [-2,2]

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Для каждой из функций, y = x/2 - x + 4, y = x^3 - 3x, y = 2sin(x) + cos(2x), y = x - tan(x), и y = x^3 - 3x^2 - 45x + 1, мы будем исследовать максимум и минимум на заданных промежутках [0, 6] и [-2, 2].

Функция а) y = x/2 - x + 4

Для начала, давайте найдем производную функции:

y' = (1/2) - 1 = -1/2

Производная константна и не зависит от x. Это означает, что функция не имеет экстремумов на заданных промежутках.

Функция б) y = x^3 - 3x

Теперь найдем производную этой функции:

y' = 3x^2 - 3

Для нахождения экстремумов, приравняем производную к нулю:

3x^2 - 3 = 0

Решая это уравнение, получаем два значения x:

x = -1 и x = 1

Теперь мы можем проверить значения функции на заданных промежутках и узнать, являются ли они максимумами или минимумами. Для этого вычислим значения функции в точках -2, -1, 0, 1, 2:

y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2 y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 y(0) = 0^3 - 3(0) = 0 y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 y(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2

На промежутке [-2, 2], минимум функции находится в точке (-2, -2), а максимум в точке (2, 2).

Функция в) y = 2sin(x) + cos(2x)

Для начала найдем производную этой функции:

y' = 2cos(x) - 2sin(2x)

Приравняем производную к нулю:

2cos(x) - 2sin(2x) = 0

Это уравнение сложнее решить аналитически. Мы можем воспользоваться численными методами или графическими методами для нахождения точек экстремума. На заданном промежутке [0, 6], функция имеет несколько периодических экстремумов, но их точные значения требуют более сложных методов анализа.

Функция г) y = x - tan(x)

Для начала найдем производную этой функции:

y' = 1 - sec^2(x)

Приравняем производную к нулю:

1 - sec^2(x) = 0

sec^2(x) = 1

sec(x) = 1

Так как sec(x) = 1/cos(x), это означает, что cos(x) = 1. Это верно только для x = 0.

Теперь мы можем проверить значения функции на заданных промежутках и узнать, являются ли они максимумами или минимумами. Для этого вычислим значения функции в точках -2, -1, 0, 1, 2:

y(-2) = -2 - tan(-2) ≈ -2.32 y(-1) = -1 - tan(-1) ≈ -0.16 y(0) = 0 - tan(0) = 0 y(1) = 1 - tan(1) ≈ 1.56 y(2) = 2 - tan(2) ≈ -1.18

На промежутке [-2, 2], минимум функции находится в точке (2, -1.18), а максимум в точке (1, 1.56).

Функция д) y = x^3 - 3x^2 - 45x + 1

Теперь найдем производную этой функции:

y' = 3x^2 - 6x - 45

Приравняем производную к нулю:

3x^2 - 6x - 45 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение или численные методы. Решая его, получаем два значения x:

x ≈ -4.41 и x ≈ 5.08

Теперь мы можем проверить значения функции на заданных промежутках и узнать, являются ли они максимумами или минимумами. Для этого вычислим значения функции в точках 0, 6, -2, -4.41 и 5.08:

y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 45(0) + 1 = 1 y(6) = 6^3 - 3(6)^2 - 45(6) + 1 ≈ -181 y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 45(-2) + 1 ≈ 97 y(-4.41) = (-4.41)^3 - 3(-4.41)^2 - 45(-4.41) + 1 ≈ 193.54 y(5.08) = (5.08)^3 - 3(5.08)^2 - 45(5.08) + 1 ≈ -34.85

На промежутке [0, 6], минимум функции находится в точке (6, -181), а максимум в точке (0, 1). На промежутке [-2, 2], минимум функции находится в точке (-4.41, 193.54), а максимум в точке (0, 1).