Question

Докажите , что из 101 кубика,покарешеного в произвольные цвета ,можно выбрать или 11 кубиков одного цвета ,или 11 кубиков разного цвета.

Answer 1

Если разных цветов меньше 10, то по-любому найдется 11 кубиков одного цвета.
Например, если всего 9 цветов, и мы покрасим по 10 кубиков в каждый цвет, то мы используем 90 кубиков. Остается 11. Любой из них красим в любой из наших 9 цветов - и получаем 11 кубиков одного цвета.
Если всего 10 цветов, то, покрасив по 10 кубиков в каждый цвет, мы получим 100 цветных кубиков. Красим 101-ый кубик в любой цвет, и получаем 11 кубиков одного цвета.
Теперь пусть у нас больше 10 разных цветов. Например, 11.
Тогда мы всегда сможем выбрать 11 кубиков, покрашенных в 11 разных цветов.
Если цветов будет еще больше, например, 15, то выбрать 11 кубиков разных цветов будет еще проще.
Таким образом, мы всегда можем найти или 11 одинаковых, 
или 11 разных кубиков.

Answer 2

Разбор задачи: Выбор 11 кубиков одного цвета или 11 кубиков разного цвета из 101 кубика

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

База индукции:

При количестве кубиков, равном 11, утверждение очевидно, так как мы можем выбрать 11 кубиков одного цвета.

Индукционное предположение:

Предположим, что утверждение верно для n кубиков, т.е. из n кубиков можно выбрать 11 кубиков одного цвета или 11 кубиков разного цвета.

Индукционный переход:

Теперь рассмотрим n+1 кубик. Есть два случая: 1. Если среди первых n кубиков уже можно выбрать 11 кубиков одного цвета или 11 кубиков разного цвета, то добавление еще одного кубика не изменит ситуацию. 2. Если среди первых n кубиков нельзя выбрать 11 кубиков одного цвета или 11 кубиков разного цвета, то при добавлении еще одного кубика у нас будет n+1 кубик. Теперь рассмотрим два подслучая: - Если среди первых n кубиков было 10 кубиков одного цвета, то добавление еще одного кубика того же цвета даст 11 кубиков одного цвета. - Если среди первых n кубиков было 10 кубиков разного цвета, то добавление еще одного кубика другого цвета даст 11 кубиков разного цвета.

Таким образом, в обоих случаях утверждение остается верным.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что из 101 кубика, покрашенного в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разного цвета.