Question

Решить: Lim (x->0) tg2x/sin5x

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \frac{tg2x}{sin5x} = \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{cos2x\cdot sin5x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{cos2x}\cdot \lim_{x \to 0} \frac{sin2x\cdot 5x\cdot 2}{2x\cdot 5\cdot sin5x} = \\ \\ = 1\cdot \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{2x}\cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{ sin5x}\cdot \lim_{x \to 0} \frac{2}{5}=1\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{2}{5}= \frac{2}{5}$

Answer 2

Для решения этого предела, мы можем использовать несколько основных свойств тригонометрии и алгебры пределов. Давайте начнем с поэтапного решения.

Шаг 1: Упростить выражение Воспользуемся тригонометрическим соотношением $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$ для упрощения выражения. Заменим $\tan^2(x)$ на $\sec^2(x) - 1$, получим: $$\lim_{x\to 0} \frac{\sec^2(x) - 1}{\sin(5x)}$$

Шаг 2: Продолжим упрощение Для упрощения дальше, мы можем разложить $\sec^2(x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x = 0$. Разложение выглядит следующим образом: $$\sec^2(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)$$ где $O(x^6)$ - это остаточный член, который содержит более высокие степени $x$ и будет малым при $x\to 0$.

Шаг 3: Подставим разложение в исходное выражение Подставим разложение $\sec^2(x)$ в исходное выражение, получим: $$\lim_{x\to 0} \frac{(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)) - 1}{\sin(5x)}$$

Шаг 4: Упростим дробь Упростим дробь, удалив скобки и объединив подобные слагаемые: $$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)}{\sin(5x)}$$

Шаг 5: Упростим еще больше Воспользуемся тригонометрическим соотношением $\sin(x) = x + O(x^3)$ для упрощения дроби. Заменим $\sin(5x)$ на $5x + O(x^3)$, получим: $$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)}{5x + O(x^3)}$$

Шаг 6: Упростим еще раз Делим числитель и знаменатель на $x$, чтобы избавиться от фактора $x$ в знаменателе: $$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x}{2} + \frac{5x^3}{24} + O(x^5)}{5 + O(x^2)}$$

Шаг 7: Возьмем предел Возьмем предел при $x\to 0$ в полученном выражении. При подстановке $x=0$ остаточные члены $O(x^2)$ и $O(x^5)$ обращаются в ноль, и мы получаем: $$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{0}{2} + \frac{5\cdot0^3}{24}}{5} = \frac{0}{5} = 0$$

Ответ: $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2(2x)}{\sin(5x)} = 0$