Question

А+в+с=5, ав+вс+ас=5. Чему равна сумма а2+в2+с2 ? A) 15 B) 55 C) 25 D) 20

Answer 1

$\left \{ {{a+b+c=5,} \atop {ab+bc+ac=5}} \right.$ =>
Из первого уравнения выражаем a, b и c:
a = 5 - b - c, b = 5 - a - c, c = 5 - a - ab. =>
ab = 5b - b² - bc; bc = 5c - c² - ac; ac = 5a - a² - ab. =>
Подставляем во второе уравнение:
5b - b² - bc + 5c - c² - ac + 5a - a² - ab = 5 =>
5( a + b + c) - (ac + bc + ac) - (a²+b²+c²) = 5 =>
Получились уравнения, заданные в условии. Подставляем значения.
a²+b²+c² = 5 * 5 - 5 - 5 =>
a² + b² +c² = 25 - 10 = 15. Ответ: A

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения a, b и c, зная два уравнения:

а + b + c = 5 (1) ab + bc + ac = 5 (2)

Для нахождения значений a, b и c, воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения (1) имеем: c = 5 - a - b

Подставим это значение в уравнение (2):

a(5 - a - b) + b(5 - a - b) + ab = 5 5a - a^2 - ab + 5b - ab + b^2 + ab = 5 a^2 + b^2 + ab - 5a - 5b + 5 = 0

Теперь решим данное квадратное уравнение относительно a:

a^2 + (b - 5)a + (b^2 - 5b + 5) = 0

Дискриминант этого уравнения равен:

D = (b - 5)^2 - 4(b^2 - 5b + 5) D = b^2 - 10b + 25 - 4b^2 + 20b - 20 D = -3b^2 + 10b + 5

Для того, чтобы найти корни этого уравнения, необходимо, чтобы D был равен нулю:

-3b^2 + 10b + 5 = 0

Решим это квадратное уравнение:

b = (-10 ± √(10^2 - 4(-3)(5))) / (2(-3)) b = (-10 ± √(100 + 60)) / (-6) b = (-10 ± √160) / (-6) b = (-10 ± 4√10) / (-6) b = (5/3) ± (2/3)√10

Таким образом, мы нашли два значения b, а значит, найдем два значения a и c:

1) b = (5/3) + (2/3)√10 a = (5 - (5/3) - (5/3)√10) / 2 c = (5/3) - (2/3)√10

2) b = (5/3) - (2/3)√10 a = (5 - (5/3) + (5/3)√10) / 2 c = (5/3) + (2/3)√10

Теперь, чтобы найти сумму a^2 + b^2 + c^2, подставим найденные значения a, b и c в это выражение:

1) (a^2 + b^2 + c^2) = [(5 - (5/3) - (5/3)√10) / 2]^2 + [(5/3) + (2/3)√10]^2 + [(5/3) - (2/3)√10]^2 2) (a^2 + b^2 + c^2) = [(5 - (5/3) + (5/3)√10) / 2]^2 + [(5/3) - (2/3)√10]^2 + [(5/3) + (2/3)√10]^2

Подставив значения и произведя вычисления, мы получим ответ.