Question

Помогите с линейной независимостью векторов: даны векторы а1 (6,7-8,9) и а2 (3,3,4,3) нужно доказать, что система векторов независима. из свойств видно, что она действительно независима, но как доказать это с помощью вычислений?

Answer 1

Два вектора линейно зависимы, если их координаты пророрциональны. То есть , если разделить соответствующие координаты одного вектора на другие, в твоем примере не такого коэффициента пропорциональности

Answer 2

Линейная независимость векторов

Для доказательства линейной независимости системы векторов a1 = (6, 7, -8, 9) и a2 = (3, 3, 4, 3), мы можем воспользоваться определением линейной независимости и провести вычисления.

Определение линейной независимости: Система векторов считается линейно независимой, если единственное решение линейного уравнения a1x1 + a2x2 = 0 является тривиальным решением x1 = 0 и x2 = 0.

Давайте рассмотрим линейное уравнение a1x1 + a2x2 = 0 и попробуем найти его решение.

a1x1 + a2x2 = (6, 7, -8, 9)x1 + (3, 3, 4, 3)x2 = (0, 0, 0, 0)

Распишем это уравнение по координатам:

6x1 + 3x2 = 0 7x1 + 3x2 = 0 -8x1 + 4x2 = 0 9x1 + 3x2 = 0

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого можно воспользоваться методом Гаусса или матричными операциями. Однако, в данном случае мы можем заметить, что первый и третий уравнения являются линейно зависимыми, так как первое уравнение можно получить, умножив третье уравнение на -3/8. Это означает, что система векторов a1 и a2 является линейно независимой.

Таким образом, мы доказали, что система векторов a1 = (6, 7, -8, 9) и a2 = (3, 3, 4, 3) является линейно независимой.