Question

Докажите, что многочлен x^2-4x+y^2-6y+15 при любой переменной принимает лишь положительные значения.

Answer 1

X²-4x+y²-6y+15=(x²-2*2x+2²)+(y²-2*3y+3²)+1=(x-2)²+(y-3)²+1 - сумма трех положительных слагаемых всегда положительна, что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства того, что многочлен x^2-4x+y^2-6y+15 принимает только положительные значения, мы можем воспользоваться методом завершения квадратов.

Для начала преобразуем многочлен: x^2-4x+y^2-6y+15 = (x^2-4x+4) + (y^2-6y+9) + 15 - 4 - 9 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + 2

Теперь мы видим, что данный многочлен представляет собой сумму квадратов выражений (x-2) и (y-3), к которым прибавляется постоянное положительное число 2.

Таким образом, каждое слагаемое в данном многочлене является неотрицательным (квадраты неотрицательны, а постоянное слагаемое положительно), а значит, вся сумма также будет положительной.

Таким образом, мы доказали, что многочлен x^2-4x+y^2-6y+15 принимает только положительные значения при любых значениях переменных x и y.