Question

Докажите,что если А(х)>0 для всех х,при которых определены функции f(x) и g(x),то неравенства f(x)A(x)<g(x)A(x) равносильны

Answer 1

$f(x)A(x) \quad?\quad g(x)A(x)\\ f(x)A(x) - g(x)A(x) \quad?\quad 0\\ (f(x)-g(x))A(x) \quad?\quad 0$

Так как для любого икс A(x)>0 при любом икс данное неравенство (уже числовое), можно делить на положительное A(x), после чего получим

$f(x)-g(x)\quad?\quad0\\ f(x)\quad?\quad g(x)$

В последнем неравенстве знак "меньше", значит и в исходном тоже
Все!

Answer 2

A(x)>0
f(x)*A(x)<g(x)*A(x)
разделим каждую часть неравенства на А(х)
при делении на положительное число знак неравенства не меняется, значит
неравенство  f(x)<g(x) равносильно неравенству f(x)*A(x)<g(x)*A(x)
 

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, мы можем рассмотреть два случая:

1. Пусть A(x) > 0 для всех x, при которых определены функции f(x) и g(x). Тогда, если f(x)A(x) < g(x)A(x), то умножим обе части неравенства на A(x). Получим f(x)A(x)A(x) < g(x)A(x)A(x), что равносильно неравенству f(x)(A(x))^2 < g(x)(A(x))^2. Таким образом, неравенства f(x)A(x) < g(x)A(x) и f(x)(A(x))^2 < g(x)(A(x))^2 эквивалентны.

2. Пусть A(x) > 0 для всех x, при которых определены функции f(x) и g(x). Теперь предположим, что f(x)(A(x))^2 < g(x)(A(x))^2. Если мы разделим обе части неравенства на (A(x))^2 (заметим, что A(x) > 0, поэтому можно делить на (A(x))^2), то получим f(x) < g(x). Таким образом, неравенства f(x)(A(x))^2 < g(x)(A(x))^2 и f(x) < g(x) равносильны.

Таким образом, мы доказали, что если A(x) > 0 для всех x, при которых определены функции f(x) и g(x), то неравенства f(x)A(x) < g(x)A(x) и f(x)(A(x))^2 < g(x)(A(x))^2 равносильны.