Question

сумма 7-го и 13-го членов арифметической прогрессии равна 13. найдите сумму первых 13 членов арифметической прогрессии

Answer 1

По формуле
$a_{n}=a_{1}+d\cdot(n-1)$

a₇=a₁+6d
a₁₃=a₁+12d

a₇+a₁₃=13

a₁+6d+a₁+12d=13;
2a₁+18d=13  ⇒  a₁+9d=6,5

S₁₈=(a₁+a₁₈)·13/2=(a₁+a₁+18d)·18/2=(a₁+9d)·18=6,5·18=117

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула выглядит следующим образом:

Sn = (n/2)(a1 + an)

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, n - количество членов, a1 - первый член прогрессии, an - последний член прогрессии.

Мы знаем, что сумма 7-го и 13-го членов арифметической прогрессии равна 13. Пусть a7 и a13 - 7-й и 13-й члены прогрессии соответственно. Тогда у нас есть следующие уравнения:

a7 + a13 = 13 (уравнение 1)

Также нам известно, что сумма первых 13 членов прогрессии также равна 13. Обозначим ее как S13. Тогда у нас есть еще одно уравнение:

S13 = a1 + a2 + a3 + ... + a12 + a13 = 13 (уравнение 2)

Мы хотим найти сумму первых 13 членов прогрессии, то есть значение S13. Для этого нам нужно найти значения a1 и a13.

Нахождение a1 и a13

Поскольку прогрессия арифметическая, мы знаем, что разность между соседними членами прогрессии постоянна. Обозначим эту разность как d. Тогда у нас есть следующие равенства:

a7 = a1 + 6d (уравнение 3)

a13 = a1 + 12d (уравнение 4)

Подстановка в уравнения

Теперь мы можем подставить значения a7 и a13 из уравнений 3 и 4 в уравнение 1:

(a1 + 6d) + (a1 + 12d) = 13

Упрощая это уравнение, получаем:

2a1 + 18d = 13 (уравнение 5)

Аналогично, мы можем подставить значения a1 и a13 из уравнений 3 и 4 в уравнение 2:

S13 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + 11d) + (a1 + 12d) = 13

Упрощая это уравнение, получаем:

13a1 + 78d = 13 (уравнение 6)

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (уравнения 5 и 6). Решим эту систему методом подстановки или методом исключения неизвестных:

Умножим уравнение 5 на 13 и вычтем уравнение 6:

(26a1 + 234d) - (13a1 + 78d) = 13 * 13 - 13

Это уравнение можно упростить:

13a1 + 156d = 0

Или:

a1 = -12d

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение 5:

2(-12d) + 18d = 13

Упрощая это уравнение, получаем:

-24d + 18d = 13

-6d = 13

d = -13/6

Теперь мы можем найти значение a1:

a1 = -12d = -12 * (-13/6) = 26

Нахождение суммы первых 13 членов

Теперь, когда у нас есть значения a1 и d, мы можем найти сумму первых 13 членов прогрессии, используя формулу:

S13 = (13/2)(a1 + a13)

Подставим значения:

S13 = (13/2)(26 + (26 + 12 * (-13/6)))

Упрощая это уравнение, получаем:

S13 = (13/2)(26 + 26 - 26) = (13/2)(26) = 169

Таким образом, сумма первых 13 членов арифметической прогрессии равна 169.