Question

Помогите доказать равенство, пожалуйста! sin160 - sin 100 = - cos50

Answer 1

Sin160 - sin 100 = - cos50
2 *sin(160-100)/2 *cos (160+100)/2= - cos 50
2 *sin30*cos130= - cos50
2*1/2* cos(180-130)= - cos50
- cos50= - cos 50

Answer 2

Для доказательства равенства sin160 - sin100 = -cos50 мы можем использовать тригонометрические тождества.

Начнем с выражения sin160 - sin100. Мы знаем, что sin(180 - α) = sinα. Поэтому sin160 = sin(180 - 20) = sin20 и sin100 = sin(180 - 80) = sin80.

Теперь мы можем переписать выражение sin160 - sin100 как sin20 - sin80.

Затем мы можем использовать тождество разности для синусов: sin(α - β) = sinα*cosβ - cosα*sinβ. Применяя это тождество, мы получаем sin20 - sin80 = sin20*cos80 - cos20*sin80.

Теперь мы можем использовать формулу половинного угла для синуса: sin(2α) = 2sinα*cosα. Применяя эту формулу к углу 40 градусов (80/2), мы получаем sin20*cos80 - cos20*sin80 = 2sin20*cos20 - 2sin40*cos40.

Теперь мы можем использовать формулу половинного угла для косинуса: cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α). Применяя эту формулу к углу 40 градусов (80/2), мы получаем 2sin20*cos20 - 2sin40*cos40 = 2(cos^2(20) - sin^2(20)) - 2(cos^2(40) - sin^2(40)).

Теперь мы можем использовать тождество косинуса для дополнения: cos(90 - α) = sinα. Применяя это тождество к углам 20 и 40 градусов, мы получаем 2(cos^2(20) - sin^2(20)) - 2(cos^2(40) - sin^2(40)) = 2(sin^2(70) - sin^2(20)) - 2(sin^2(50) - sin^2(40)).

Наконец, мы можем использовать тождество синуса для дополнения: sin(90 - α) = cosα. Применяя это тождество к углам 20 и 40 градусов, мы получаем 2(sin^2(70) - sin^2(20)) - 2(sin^2(50) - sin^2(40)) = -2(cos^2(20) - cos^2(70)) + 2(cos^2(40) - cos^2(50)).

Теперь мы можем использовать тождество косинуса для дополнения: cos(90 - α) = sinα. Применяя это тождество к углам 20 и 40 градусов, мы получаем -2(cos^2(20) - cos^2(70)) + 2(cos^2(40) - cos^2(50)) = -cos20 + cos40 = -cos50.

Таким образом, мы доказали, что sin160 - sin100 = -cos50.