Question

Упростите: ctg(45°- α/2) + ctg(135°- α/2)P.S. Если это поможет, ответ должен получится: 2tgα )

Answer 1

$ctg(45-\alpha/2)+ctg(135-\alpha/2)=$

$=\frac{sin(45-\alpha/2+135-\alpha/2)}{sin(45-\alpha/2)sin(135-\alpha/2)}=$

$=\frac{sin(180-\alpha)}{(sin45cos\alpha/2-cos45sin\alpha/2)(sin135cos\alpha-cos135sin\alpha/2)}=$

$=\frac{sin\alpha}{(\sqrt{2}/2*cos\alpha/2-\sqrt{2}/2sin\alpha/2)(\sqrt{2}/2*cos\alpha/2+\sqrt{2}/2*sin\alpha/2)}=$

$=\frac{sin\alpha}{(\sqrt{2}/2)^{2}(cos^{2}\alpha/2-sin^{2}\alpha/2)}=\frac{sin\alpha}{\frac{1}{2}cos(2\alpha/2)}=\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}=2tg\alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и связи между тригонометрическими функциями. Давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности.

Для начала, давайте рассмотрим выражение `ctg(45° - α/2)`. Используя тригонометрическое тождество `ctg(x) = 1/tan(x)`, мы можем записать это выражение как `1/tan(45° - α/2)`. Также, используя свойство тангенса `tan(a - b) = (tan(a) - tan(b))/(1 + tan(a)*tan(b))`, мы можем переписать это выражение как `(1 - tan(α/2))/(1 + tan(α/2))`.

Теперь рассмотрим выражение `ctg(135° - α/2)`. Аналогично предыдущему шагу, мы можем записать это выражение как `1/tan(135° - α/2)`. Используя свойство тангенса, мы можем переписать это выражение как `(1 + tan(α/2))/(1 - tan(α/2))`.

Таким образом, наше исходное выражение `ctg(45° - α/2) + ctg(135° - α/2)` упрощается до `(1 - tan(α/2))/(1 + tan(α/2)) + (1 + tan(α/2))/(1 - tan(α/2))`.

Для дальнейшего упрощения, мы можем объединить дроби в общий знаменатель. Умножим первую дробь на `(1 - tan(α/2))` и вторую дробь на `(1 + tan(α/2))`:

[(1 - tan(α/2))^2 + (1 + tan(α/2))^2] / [(1 - tan(α/2))(1 + tan(α/2))]

Раскроем скобки в числителе и упростим:

[1 - 2tan(α/2) + tan^2(α/2) + 1 + 2tan(α/2) + tan^2(α/2)] / [(1 - tan^2(α/2))]

Сократим подобные слагаемые:

[2 + 2tan^2(α/2)] / [(1 - tan^2(α/2))]

Используя тригонометрическое тождество `tan^2(x) = 1 - cos^2(x)`, мы можем переписать это выражение как:

[2 + 2(1 - cos^2(α/2))] / [(1 - (1 - cos^2(α/2)))]

Упростим числитель:

[2 + 2 - 2cos^2(α/2)] / [cos^2(α/2)]

[4 - 2cos^2(α/2)] / [cos^2(α/2)]

Факторизуем числитель:

2(2 - cos^2(α/2)) / cos^2(α/2)

2(1 - cos^2(α/2) + 1) / cos^2(α/2)

2(1 + sin^2(α/2)) / cos^2(α/2)

Используя тригонометрическое тождество `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)`, мы можем переписать это выражение как:

2(1 + (1 - cos^2(α/2))) / cos^2(α/2)

2(2 - cos^2(α/2)) / cos^2(α/2)

Факторизуем числитель:

4(1 - cos^2(α/2)) / cos^2(α/2)

4sin^2(α/2) / cos^2(α/2)

Используя свойство тангенса `tan(x) = sin(x)/cos(x)`, мы можем переписать это выражение как:

4tan^2(α/2)

Таким образом, упрощенный ответ для выражения `ctg(45° - α/2) + ctg(135° - α/2)` равен `4tan^2(α/2)`.