Question

В правильной четырехугольной пирамиде sabcd с основанием abcd боковое ребро sc равно 10, сторона основания равно 6 корней из 2. Найдите объем пирамиды

Answer 1

V=1/3*Sосн*H

S=6sqrt2*sqrt2=72

AC=корень из (6sqrt2*6sqrt2)=корень из 144=12(теорема Пифагора)

Ao=1/2AC=6

SO=корень из 100-36=корень из 64=8(теор. Пифагора) 

V=1/3*72*8=192

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды, нам необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды. В данном случае, у нас есть информация о боковом ребре и стороне основания пирамиды.

Нахождение площади основания

Поскольку пирамида является четырехугольной, основание можно разделить на два треугольника. Для вычисления площади основания пирамиды, мы можем использовать формулу для площади треугольника.

Площадь треугольника можно вычислить, зная длины двух его сторон и угол между ними. Однако, в данном случае у нас нет информации об угле между сторонами. Вместо этого, мы можем использовать формулу для площади треугольника, основанную на длинах его сторон (известная как формула Герона):

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где S - площадь треугольника, a, b, c - длины его сторон, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

В данном случае, у нас есть сторона основания равная 6 корней из 2. Чтобы найти площадь одного из треугольников, нам нужно найти длины его сторон.

У нас есть одна сторона равная 6 корней из 2, а также длина бокового ребра равна 10. Чтобы найти оставшиеся стороны треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора.

Пифагорова теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

В нашем случае, у нас есть катет a равный 6 корней из 2, а гипотенуза c равна 10. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти катет b:

b^2 = c^2 - a^2.

Подставляя значения, получаем:

b^2 = 10^2 - (6\sqrt{2})^2.

Вычисляя это, получим:

b^2 = 100 - 72, b^2 = 28.

Теперь, найдя длины сторон треугольника, мы можем вычислить его площадь, используя формулу Герона.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

p = a + b + c.

Подставляя значения, получим:

p = 6\sqrt{2} + \sqrt{28} + 10.

Вычисляя это, получим:

p ≈ 24.588.

Теперь, используя формулу Герона, мы можем вычислить площадь одного из треугольников:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Подставляя значения, получим:

S = sqrt(24.588 * (24.588 - 6\sqrt{2}) * (24.588 - \sqrt{28}) * (24.588 - 10)).

Вычисляя это, получим:

S ≈ 37.103.

Так как основание пирамиды состоит из двух таких треугольников, площадь основания будет равна удвоенной площади одного треугольника:

S_основания = 2 * S.

Подставляя значения, получим:

S_основания = 2 * 37.103.

Вычисляя это, получим:

S_основания ≈ 74.206.

Нахождение высоты пирамиды

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно знать расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

Так как пирамида является четырехугольной, мы можем разделить ее на две пирамиды: одну с вершиной в точке S, а другую с вершиной в точке C.

Обратимся к первой пирамиде с вершиной в точке S. Мы знаем, что длина бокового ребра равна 10. Также, у нас есть длины сторон треугольника основания.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. В данном случае, это будет длина высоты треугольника, которая также будет являться высотой пирамиды.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

h^2 = c^2 - a^2,

где h - высота треугольника, c - гипотенуза, a - катет.

В нашем случае, у нас есть гипотенуза c равная 10, и катет a равен половине стороны основания (поскольку треугольник является равнобоким).

Подставляя значения, получим:

h^2 = 10^2 - (6\sqrt{2}/2)^2.

Вычисляя это, получим:

h^2 = 100 - 18, h^2 = 82.

Теперь мы нашли высоту треугольника и высоту пирамиды.

Нахождение объема пирамиды

Наконец, мы можем найти объем пирамиды, используя формулу:

V = (1/3) * S_основания * h,

где V - объем пирамиды, S_основания - площадь основания, h - высота пирамиды.

Подставляя значения, получим:

V = (1/3) * 74.206 * sqrt(82).

Вычисляя это, получим:

V ≈ 287.727.

Таким образом, объем пирамиды примерно равен 287.727.