Question

17.53. Доведіть, що значення виразу 999·1001·1003.1005+16 є квадратом натурального числа.​

Answer 1

Ответ: Доведено, що вираз є повним квадратом 999·1001·1003·1005+16 =  (999² + 6·999 + 4)²

Объяснение:

Доведіть, що значення виразу 999·1001·1003.1005+16 є квадратом натурального числа.​

Обозначим  999 как  a , тогда

1001 =  a + 2

1003 = a + 4

1005 = a + 6

Мы получим :

999·1001·1003·1005+16  = a · (a+2)·(a+4)·(a+6)

Группируем  

((a+6)·a)·((a + 2)·(a+ 4))  = (a² + 6a)·(a + 2a + 4a + 8) = (a² + 6a)·(a²+6a +8)

Введем замену

u = a² + 6a ,  u + 8 =  a² + 6a + 8

И мы получим что :

999·1001·1003·1005+16 = (a² + 6a)·(a²+6a +8) + 16  =  u² + 8u + 16 - данное выражение является полным квадратом

u² + 8u + 16  = (u + 4)² = (a² + 6a + 4)² =  (999² + 6·999 + 4)²

Таким образом , мы доказали , что данное выражение является полным квадратом

#SPJ1

Answer 2

Щоб довести, що вираз \(999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16\) є квадратом натурального числа, давайте спростимо цей вираз та визначимо, чи можна представити його у вигляді \(a^2\) для деякого натурального \(a\).

Спростимо вираз:

\[ \begin{align*} &999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16 \\ &= (1000 - 1)(1000 + 1)(1002 - 1)(1002 + 3) + 16 \\ &= (1000^2 - 1^2)(1002^2 - 1^2) + 16 \\ &= (1000^2 - 1)(1000^2 + 1)(1002^2 - 1)(1002^2 + 1) + 16 \\ &= (1000^4 - 1)(1002^4 - 1) + 16. \end{align*} \]

Тепер введемо нові змінні: \(x = 1000^2\) та \(y = 1002^2\). Після заміни вираз стає:

\[ (x^2 - 1)(y^2 - 1) + 16. \]

Розкриємо дужки:

\[ x^2y^2 - x^2 - y^2 + 1 + 16. \]

Використовуючи введені раніше заміни \(x = 1000^2\) та \(y = 1002^2\), ми отримуємо:

\[ (1000^2 \cdot 1002^2)^2 - 1000^2 - 1002^2 + 1 + 16. \]

Спростимо це:

\[ (1000 \cdot 1002)^2 - 1000^2 - 1002^2 + 1 + 16. \]

Тепер обчислимо значення:

\[ (1002000)^2 - 1000000 - 1004004 + 1 + 16 = 1004004000000 - 1004003. \]

Отже, отримали, що заданий вираз можна представити у вигляді квадрату натурального числа:

\[ (1002000)^2 - 1000000 - 1004004 + 1 + 16 = (1002000)^2 - 1004003. \]

Це означає, що заданий вираз \(999 \cdot 1001 \cdot 1003 \cdot 1005 + 16\) є квадратом натурального числа, а саме \(1002000\).