Question

Найдите наименьший положительный период функции: y=sin7xcos3x-cos7xsin3x

Answer 1

$y=sin7x\, cos3x-cos7x\, sin3x=sin(7x-3x)=sin4x\\\\T(sin\, kx)= \frac{2\pi }{k} \\\\T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi }{2}$

Answer 2

Чтобы найти наименьший положительный период функции y = sin(7x)cos(3x) - cos(7x)sin(3x), мы должны найти значения x, при которых функция повторяется и возвращает те же значения. Период функции - это расстояние между повторениями функции.

Для начала заметим, что sin(7x)cos(3x) - cos(7x)sin(3x) можно переписать в виде sin(4x). Это следует из тригонометрической формулы для разности синусов sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b), где a = 7x и b = 3x.

Теперь рассмотрим функцию y = sin(4x). Синус имеет период 2π, поэтому функция sin(4x) будет повторяться каждые 2π. Чтобы найти наименьший положительный период функции y = sin(4x), мы должны найти наименьшее положительное значение T, при котором 4x пройдет через полный оборот (2π).

Для этого решим уравнение 4x = 2π:

4x = 2π x = (2π) / 4 x = π / 2

Таким образом, наименьший положительный период функции y = sin(4x) равен π / 2.

Исходная функция y = sin(7x)cos(3x) - cos(7x)sin(3x) имеет тот же период, что и y = sin(4x), поэтому наименьший положительный период исходной функции также равен π / 2.