Question

Помогите решить log1/2(2^x -1)>x-1

Answer 1

$log_{\frac{1}{2}}{(2^{x-1})}>x-1,\; \; OOF:\; 2^{x-1}>0,x\in R\\\\2^{x-1}<(\frac{1}{2})^{x-1}\\\\2^{x-1}<2^{1-x}\\\\x-1<1-x\\\\2x<2\\\\x<1\\\\Otvet:\; x\in (-\infty,1)$

Answer 2

Для начала давайте разберемся с выражением `log1/2(2^x - 1) > x - 1`, которое вы предоставили. Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти значения `x`, при которых оно будет истинным.

Преобразование неравенства

Давайте начнем с преобразования неравенства, чтобы упростить его и найти решение. Первым шагом будет применение свойства логарифма `log_a(b) > c` эквивалентно `b > a^c`. Применим это свойство к нашему неравенству:

2^x - 1 > 1/2^(x - 1)

Упрощение неравенства

Чтобы продолжить, давайте упростим выражение. Для этого заменим `1/2^(x - 1)` на `2/(2^x)`:

2^x - 1 > 2/(2^x)

Приведение к общему знаменателю

Чтобы сравнивать числители, нам нужно привести оба слагаемых к общему знаменателю. Умножим левую и правую части неравенства на `2^x`:

2^x * (2^x - 1) > 2

Раскрытие скобок

Раскроем скобки и получим:

2^(2x) - 2^x > 2

Замена переменной

Чтобы решить это уравнение, давайте заменим `2^x` на другую переменную, скажем `y`. Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

y^2 - y > 2

Решение квадратного уравнения

Получив уравнение `y^2 - y > 2`, мы можем решить его как квадратное уравнение.

Перенесем все в одну сторону:

y^2 - y - 2 > 0

Факторизация или использование квадратного корня

Мы можем решить это уравнение, факторизовав его или использовав квадратный корень. Однако, данное уравнение не факторизуется на целые числа. Поэтому воспользуемся квадратным корнем.

y > (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае `a = 1`, `b = -1`, и `c = -2`. Подставим значения и решим:

y > (1 ± √((-1)^2 - 4 * 1 * -2)) / 2 * 1

y > (1 ± √(1 + 8)) / 2

y > (1 ± √9) / 2

y > (1 ± 3) / 2

Два случая

Итак, у нас есть два случая:

1. При `y > (1 + 3) / 2 = 4/2 = 2`, неравенство выполняется. 2. При `y > (1 - 3) / 2 = -2/2 = -1`, неравенство не выполняется.

Замена обратно на `2^x`

Теперь, когда мы знаем значения `y`, давайте заменим `y` обратно на `2^x`:

1. При `2^x > 2`, неравенство выполняется. 2. При `2^x > -1`, неравенство выполняется.

Окончательный ответ

Таким образом, решением исходного неравенства `log1/2(2^x - 1) > x - 1` являются все значения `x`, для которых выполняются оба условия:

1. `2^x > 2` 2. `2^x > -1`

Эти условия выполняются для всех действительных значений `x`.