Question

Знайдіть проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції y = x⁴/4+x³/3-x²+5

Answer 1

Відповідь: фото

Пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Функція, яку ви задали, має вигляд y = (1/4)x^4 + (1/3)x^3 - x^2 + 5. Давайте знайдемо проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми цієї функції.

Проміжки монотонності

Щоб знайти проміжки монотонності, потрібно знайти похідну функції і визначити її знаки. Для цього візьмемо першу похідну функції y = (1/4)x^4 + (1/3)x^3 - x^2 + 5:

y' = 4(1/4)x^3 + 3(1/3)x^2 - 2x = x^3 + x^2 - 2x.

Тепер ми можемо визначити знаки похідної на різних інтервалах, розв'язавши нерівняння x^3 + x^2 - 2x = 0:

x(x + 2)(x - 1) = 0.

Розв'язавши це рівняння, отримуємо x = 0, x = -2 та x = 1. Тепер можемо побудувати таблицю проміжків монотонності:

| x | -∞ | -2 | 0 | 1 | +∞ | |-------|------|------|------|------|------| | y'(x) | - | 0 | - | + | + |

Отже, функція є спадною на проміжку (-∞, -2) та (0, 1), а вона є зростаючою на проміжку (-2, 0) та (1, +∞).

Точки екстремуму

Точки екстремуму відповідають нулям першої похідної. Звертаємося до похідної функції y' = x^3 + x^2 - 2x і ставимо рівняння y' = 0:

x^3 + x^2 - 2x = 0.

Це рівняння можна розв'язати числово або за допомогою графіку. За допомогою числового розв'язання, отримуємо x ≈ -1.532, x ≈ 0.532 та x ≈ 1. Отже, точки екстремуму цієї функції є (-1.532, f(-1.532)), (0.532, f(0.532)) та (1, f(1)).

Екстремуми функції

Щоб знайти значення функції в точках екстремуму, підставимо значення x у функцію y = (1/4)x^4 + (1/3)x^3 - x^2 + 5:

f(-1.532) ≈ 0.976, f(0.532) ≈ 5.047, f(1) = 4.25.

Отже, перша точка екстремуму цієї функції є (-1.532, 0.976), друга точка екстремуму є (0.532, 5.047), а третя точка екстремуму є (1, 4.25).

Це є детальний розрахунок проміжків монотонності, точок екстремуму та екстремумів для функції y = (1/4)x^4 + (1/3)x^3 - x^2 + 5.