Question

Доведіть, що областю значень функції f(x) є всі числа, не більші ніж число -5, якщо: f(x)= -x^2+2x-6

Answer 1

Ответ:

Чтобы доказать, что областью значений функции f(x) являются все числа, не больше числа -5, мы должны показать, что для любого значения x функция f(x) меньше или равна -5.

Для этого, давайте рассмотрим выражение f(x) = -x^2 + 2x - 6. Мы можем переписать его в виде:

f(x) = -(x^2 - 2x + 6)

Далее, мы можем применить завершение квадратного выражения, чтобы получить:

f(x) = -(x - 1)^2 + 5

Заметим, что квадратное выражение (x - 1)^2 всегда неотрицательно, поскольку является квадратом разности двух чисел. Таким образом, максимальное значение этого выражения равно нулю, когда x = 1.

Следовательно, наша функция f(x) имеет максимальное значение 5 при x = 1, и она убывает по обе стороны от этой точки. Это означает, что для любого x значение f(x) будет меньше или равно 5.

Таким образом, мы доказали, что областью значений функции f(x) являются все числа, не больше числа -5.

Объяснение:

Answer 2

Щоб довести, що областю значень функції \( f(x) = -x^2 + 2x - 6 \) є всі числа, не більше -5, давайте з'ясуємо, які значення функції може приймати при різних значеннях \( x \).

Функція \( f(x) \) представлена квадратичним виразом, тобто виглядає як \(-ax^2 + bx + c\), де \( a, b, c \) - це константи. У вашому випадку \( a = 1, b = 2, c = -6 \).

Отже, \( f(x) = -x^2 + 2x - 6 \).

Щоб знайти область значень, розглянемо вираз \( -x^2 + 2x - 6 \) і визначимо, для яких значень \( x \) він буде менше або рівний -5.

Розглянемо \( -x^2 + 2x - 6 \leq -5 \).

Спростимо цей нерівняння:

\[ -x^2 + 2x - 6 + 5 \leq 0 \]

\[ -x^2 + 2x - 1 \leq 0 \]

Тепер можемо використовувати методи розв'язання квадратичних нерівностей. Один з підходів - знайти корені відповідного квадратичного рівняння і визначити, де він перетинає вісь \(x\).

\[ -x^2 + 2x - 1 = 0 \]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо два корені. Застосовуючи квадратне рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\), ми використовуємо формулу дискримінанту:

\[ D = b^2 - 4ac \]

У нашому випадку \( a = -1, b = 2, c = -1 \).

\[ D = 2^2 - 4(-1)(-1) = 4 - 4 = 0 \]

Дискримінант дорівнює нулю, отже, у нас один дійсний корінь. Знайдемо його:

\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{-2} = 1 \]

Отже, у нас один корінь рівняння \( -x^2 + 2x - 1 = 0 \) і це \( x = 1 \).

Тепер визначимо, де ця функція менше або рівна нулю, використовуючи цей корінь. Складаємо та розв'язуємо нерівність:

\[ -x^2 + 2x - 1 \leq 0 \]

\[ -(x - 1)^2 \leq 0 \]

Це нерівняння виконується тільки при \( x = 1 \).

Таким чином, областю значень функції \( f(x) = -x^2 + 2x - 6 \) є всі числа, не більше -5, і це відбувається лише при \( x = 1 \). Отже, твердження, що областю значень є всі числа, не більше -5, не є правильним. Областю значень є лише число 1.