Question

1) 6sin^2 x - 7sin x * cos x + cos^2 x = 02) sin 2x = √2/2​

Answer 1

1) Скористаємося тригонометричною ідентичністю sin² x + cos² x = 1, щоб замінити квадрат косинуса на квадрат синуса:

6sin² x - 7sin x cos x + sin² x = 0

Об'єднаємо перший і третій доданки, щоб отримати квадрат синуса:

7sin x cos x = 7/2 sin 2x

Тепер можемо замінити другий доданок на отриманий вираз:

6sin² x - 7/2 sin 2x = 0

Розділимо обидві частини на sin x (з умови, sin x ≠ 0), щоб отримати лінійне рівняння відносно sin x:

6sin x - 7/2 cos x = 0

sin x = 7/12 cos x

Тепер можемо підставити отриману залежність в одне з вихідних рівнянь:

6(7/12 cos x)² - 7(7/12 cos x)cos x + cos² x = 0

Скористаємося формулою для косинуса добутку:

cos² x - (7/12)cos x + (7/24) = 0

Застосуємо формулу дискримінанту і знайдемо його значення:

D = b² - 4ac = (7/12)² - 4(6)(7/24) = -35/72

Дискримінант від'ємний, тому рівняння не має розв'язків. Отже, рівняння 6sin² x - 7sin x cos x + cos² x = 0 не має розв'язків у множині дійсних чисел.

2) Розпочнемо з використання формули подвійного кута для синуса:

sin 2x = 2sin x cos x

Тоді можна записати:

2sin x cos x = √2/2

Поділимо обидві частини на 2 та скористаємося тригонометричною ідентичністю sin² x + cos² x = 1:

sin x cos x = √2/4

Далі скористаємося формулою для добутку тригонометричних функцій:

sin x cos x = 1/2 · sin 2x

Отже, маємо:

1/2 · sin 2x = √2/4

sin 2x = (√2/4) · 2 = √2/2

Отримали вихідне рівняння, тому можемо сказати, що розв'язком є будь-яке число вигляду x = π/8 + πk/2, де k - ціле число.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности:

1) \(6\sin^2 x - 7\sin x \cos x + \cos^2 x = 0\)

Это уравнение можно переписать, используя тригонометрические тождества. Заметим, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Также, можно заметить, что \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставим это в уравнение:

\[6\sin^2 x - 7\sin x (1 - \sin^2 x) + (1 - \sin^2 x) = 0\]

Раскроем скобки:

\[6\sin^2 x - 7\sin x + 7\sin^3 x + 1 - \sin^2 x = 0\]

Теперь сгруппируем члены:

\[6\sin^2 x - \sin^2 x + 7\sin^3 x - 7\sin x + 1 = 0\]

\[5\sin^2 x + 7\sin^3 x - 7\sin x + 1 = 0\]

Увы, это уравнение не легко решается аналитически, и для нахождения его корней, возможно, потребуется использовать численные методы.

2) \(\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Удвоенный угол имеет следующую формулу:

\[\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\]

Подставим \(2x\) вместо \(\theta\):

\[\sin 2x = 2\sin x \cos x\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[2\sin x \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Мы знаем, что \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4}\). Таким образом, у нас есть:

\[2\sin x \cos x = \sin \frac{\pi}{4}\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}\):

\[2\sin x \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sin \frac{\pi}{4}\]

Это уравнение можно решить численно или графически для нахождения значений \(\sin x\), а затем найти соответствующие значения \(x\).