Question

Помогите пожалйчста с лагорифмическими неравенствами..1) lg (x+5) + lg (x-5) <2 2) log 3 (x) + log 3 (x-2) > (равно) 1 3) log 3x+1 (x^2-4)>1

Answer 1

Решение во вложении-------------------

Answer 2

Привет! Я могу помочь с логарифмическими неравенствами. Давай решим каждое из них по порядку.

1) lg(x+5) + lg(x-5) < 2

Чтобы решить данное неравенство, мы можем использовать свойства логарифмов. В данном случае, мы можем объединить два логарифма суммой внутри аргумента:

lg((x+5)(x-5)) < 2

Далее, мы можем применить свойство, что логарифм числа меньше двух, если и только если само число меньше 100:

(x+5)(x-5) < 100

Теперь, мы можем решить квадратное уравнение:

x^2 - 25 < 100

x^2 < 125

Извлекая квадратный корень, получаем:

x < √125

x < 11.18 (округленно)

Таким образом, решением неравенства будет интервал (-∞, 11.18).

2) log3(x) + log3(x-2) > 1

Аналогично первому неравенству, мы можем объединить два логарифма суммой внутри аргумента:

log3(x(x-2)) > 1

Теперь, применяя свойство, что логарифм числа больше единицы, если и только если само число больше основания логарифма, мы получаем:

x(x-2) > 3

x^2 - 2x > 3

x^2 - 2x - 3 > 0

Факторизуем левую сторону:

(x-3)(x+1) > 0

Решением данного неравенства будет интервал (-∞, -1) объединённый с (3, +∞).

3) log3x+1(x^2-4) > 1

Для начала, разложим выражение внутри логарифма:

log3x+1(x^2-4) > 1

log3x+1(x+2)(x-2) > 1

Используя свойства логарифма, мы можем записать это как:

(x+1)log3(x+2)(x-2) > 1

Теперь, мы можем использовать свойство, что логарифм числа больше единицы, если и только если само число больше основания логарифма:

(x+1)(x+2)(x-2) > 3

Раскрываем скобки:

(x^2-4)(x+2) > 3

x^3 + 2x^2 - 4x - 8 > 3

x^3 + 2x^2 - 4x - 11 > 0

К сожалению, в данном случае я не могу точно решить это неравенство аналитически. Можно воспользоваться графиком функции и численными методами для приближенного решения.