Question

Помогите пожалуйста решить |x-2|+|2x-8|<7

Answer 1

Объяснение:

$|x-2|+|2x-8|$

Находим нули подмодульных выражений:

х-2=0       х=2.

2х-8=0       2х=8 |÷2     x=4       ⇒

-∞____2____4____+∞

1) x∈(-∞;2).

-(x-2)+(-(2x-8)<7

-x+2-2x+8<7

-3x+10<7

3x>3 |÷3

x>1    ⇒

x∈(1;2).

2) x∈[2;4].

x-2+(-(2x-8)<7

x-2-2x+8<7

-x+6<7

x>-1   ⇒

x∈[2;4].

3) x∈(4;+∞)

x-2+2x-8<7

3x-10<7

3x<17 |÷3

x<5²/₃.    ⇒

x∈(4;5²/₃).

Ответ: x∈(1;5²/₃).

Answer 2

Ответ:

Х-2+2х-8<7

Х-2+2х-8<7

3х-10<7

3х<10+7

3х<17

Answer 3

Давайте решим неравенство \( |x-2| + |2x-8| < 7 \) пошагово.

1. Начнем с определения абсолютных значений:

\[ |x-2| \text{ означает } \begin{cases} x-2, & \text{если } x \geq 2 \\ -(x-2), & \text{если } x < 2 \end{cases} \] \[ |2x-8| \text{ означает } \begin{cases} 2x-8, & \text{если } 2x-8 \geq 0 \implies x \geq 4 \\ -(2x-8), & \text{если } 2x-8 < 0 \implies x < 4 \end{cases} \]

2. Теперь заменим абсолютные значения в исходном неравенстве:

\[ (x-2) + (2x-8) < 7 \text{, при условии } x \geq 4 \] \[ (x-2) - (2x-8) < 7 \text{, при условии } 2 \leq x < 4 \] \[ -(x-2) + (2x-8) < 7 \text{, при условии } 2 > x \geq 4 \] \[ -(x-2) - (2x-8) < 7 \text{, при условии } x < 2 \]

3. Решим каждое из четырех неравенств:

a. \( (x-2) + (2x-8) < 7 \) при \( x \geq 4 \): Раскроем скобки и упростим: \[ x - 2 + 2x - 8 < 7 \] \[ 3x - 10 < 7 \] \[ 3x < 17 \] \[ x < \frac{17}{3} \] b. \( (x-2) - (2x-8) < 7 \) при \( 2 \leq x < 4 \): Раскроем скобки и упростим: \[ x - 2 - 2x + 8 < 7 \] \[ -x + 6 < 7 \] \[ -x < 1 \] \[ x > -1 \] c. \( -(x-2) + (2x-8) < 7 \) при \( 2 > x \geq 4 \): Раскроем скобки и упростим: \[ -x + 2 + 2x - 8 < 7 \] \[ x - 6 < 7 \] \[ x < 13 \] d. \( -(x-2) - (2x-8) < 7 \) при \( x < 2 \): Раскроем скобки и упростим: \[ -x + 2 - 2x + 8 < 7 \] \[ -3x + 10 < 7 \] \[ -3x < -3 \] \[ x > 1 \]

4. Итак, получаем четыре интервала решений:

a. \( x < \frac{17}{3} \) b. \( -1 < x < 4 \) c. \( x < 13 \) d. \( x > 1 \)

5. Объединим эти интервалы:

Итоговое множество решений: \( x \in (-\infty, 1) \cup (-1, 4) \cup (\frac{17}{3}, 13) \)