Question

Решите пожалуйста эти неравенства и как их можно показать на числовой прямой? 2(x – 1) < 3(2 – x) -3 ≤ 2x – 1 ≤ 5 -3 x2 – 10x – 3 ≤ 0

Answer 1

1) 2x-2<6-3x
2x+3x<6+2
5x<8
x<8/5
x<1,6

////////////
---------₀--------->x
         1,6
x∈(-∞; 1,6)

2) -3+1≤2x≤5+1
-2≤2x≤6
-2/2≤x≤6/2
-1≤x≤3

             xxxxxx
----------.---------.----->x
           -1         3
x∈[-1; 3]
3) D=100-36=64
x₁ = 10-8 / -6 = -1/3
x₂ = 10+8 / -6 = -3
   
     +            -           +
----------.-----------.-------->x
          -3           -1/3
x∈[-3; -1/3]

Answer 2

Решите пожалуйста эти неравенства и как их можно показать на числовой прямой?2(x – 1) < 3(2 – x)

-3 ≤ 2x – 1 ≤ 5
-3 x2 – 10x – 3 ≤ 0

1)
2(x – 1) < 3(2 – x)  ⇔2x -2< 6 – 3x    ⇔ 5x < 8  ⇔ x < 8 /5

------////////////------ 8 /5------------------------------------ 
2)
-3 ≤ 2x – 1 ≤ 5  ⇔   -3+1 ≤ 2x – 1+1 ≤ 5 +1   ⇔

 -2≤ 2x  ≤ 6   ⇔        -2/2≤ 2x /2 ≤ 6/2    ⇔     -1≤ x ≤ 3    



----------------------------------[(-1)////////////////(3)]------------------------



3)     -3 x² – 10x – 3 ≤ 0  ⇔    3x²+10x+3≥0

3x²+10x+3=0

D=100-4·3·3=64=8²
x1=(-10-8)/6=-3     x2=(-10+8)/6=  -1/3 


          +                       -                                +
///////////////](-3 )-------------------[(  -1/3 )////////////////////-

x∈(-∞,-3]∪[-1/3, +∞)

Answer 3

Давайте решим неравенства по очереди и покажем их на числовой прямой.

Неравенство 1: 2(x - 1) < 3(2 - x) - 3

Раскроем скобки и упростим выражение: 2x - 2 < 6 - 3x - 3

Соберем все переменные на одной стороне неравенства: 2x + 3x < 6 + 3 - 2 5x < 7

Разделим обе части неравенства на 5: x < 7/5

Теперь покажем это на числовой прямой. Нарисуем прямую и отметим точку x = 7/5 как несовместимую с неравенством, так как x должно быть меньше 7/5:

    -∞          7/5
     |-----------|----->

Неравенство 2: 2x - 1 ≤ 2x - 1 ≤ 5

Здесь имеется двойное неравенство. Обратите внимание, что две части неравенства идентичны.

Теперь покажем это на числовой прямой. Нарисуем прямую и отметим точки x = 2 и x = 5 как удовлетворяющие неравенству:

    -∞   2   5   +∞
     |---|---|---|-->

Неравенство 3: -3 + x^2 - 10x - 3 ≤ 0

Упростим выражение: x^2 - 10x - 6 ≤ 0

Для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов или график функции. Я покажу оба способа.

Метод интервалов:

1. Найдем корни квадратного уравнения x^2 - 10x - 6 = 0: Применяя квадратное уравнение, получим x = 5 + √31 и x = 5 - √31.

2. Построим интервалы на числовой прямой, используя найденные корни: -∞ 5 - √31 5 + √31 +∞ |--------|----------|----->

3. Выберем тестовую точку из каждого интервала и проверим, удовлетворяет ли она неравенству. Например, возьмем x = 0 (любую точку между -∞ и 5 - √31). Подставим x = 0 в исходное неравенство: -3 + 0^2 - 10(0) - 3 ≤ 0 -3 - 3 ≤ 0 -6 ≤ 0 Условие выполняется.

Проверим также для x = 5 (любую точку между 5 - √31 и 5 + √31): -3 + 5^2 - 10(5) - 3 ≤ 0 -3 + 25 - 50 - 3 ≤ 0 -31 ≤ 0 Условие выполняется.

И, наконец, проверим для x = 10 (любую точку между 5 + √31 и +∞): -3 + 10^2 - 10(10) - 3 ≤ 0 -3 + 100 - 100 - 3 ≤ 0 -6 ≤ 0 Условие выполняется.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале (-∞, 5 - √31] ∪ [5 + √31, +∞).

График функции:

Чтобы показать это неравенство на графике, построим график функции y = x^2 - 10x - 6 и выделим области, где функция меньше или равна нулю:

    ^
    |
   0|             x^2 - 10x - 6
    |
   -|------------------------------>
    |   -∞   5 - √31   5 + √31   +∞

Видим, что график функции находится ниже оси x в интервалах (-∞, 5 - √31] ∪ [5 + √31, +∞).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как решить данные неравенства и как их показать на числовой прямой. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!