Question

1. Найдите производную: f(x) = 20x³+ 6x² - 7x + 3 2. Пусть f(x) = x²- 5x + 4 и g(x) = Найдите f(g(3)). 3. Пусть f (x) = x³-5x² +7x+1 . Найдите: x-2 1) стационарные точки; 2) промежутки возрастания; 3) промежутки убывания; 4) точки локального максимума; 5) точки локального минимума. 4. Найдите производную: (3x + 5)³ + sin²x. 0 5. Пусть f(x)=√/1-3x . Вычислите f' (¼) ​

Answer 1

Ответ:

а) f(x) = x^3 - 10x^2 + 5x + 1 ;

Формулы для нахождения производной: (x^a) = a × x^a-1 ; производная числа = 0 ;

Следовательно: f'(x) = 3x^2 - 20x + 5 ;

б) f(x) = 2 / x^7 + 4√3 ;

Формула: (a / g)' = a' × g - a × g' / g^2 ;

f'(x) = 0 × x^7 - 2 × 7x^6 / x^14 + 0 = - 14x^6 / x^14 ;

в) f(x) = (5x^2 + 2) × √x ;

Формула: (a × b)' = a' × b + a × b' ; производная √x = 1 / 2√x ;

f'(x) = 10x × √x + (5x^2 + 2) × 1 / 2√x = 10x × √x + 5x^2 + 2 / 2√x .

Answer 2

1. Найдем производную функции \( f(x) = 20x^3 + 6x^2 - 7x + 3 \):

\[ f'(x) = 60x^2 + 12x - 7 \]

2. Пусть \( f(x) = x^2 - 5x + 4 \) и \( g(x) = 3 \). Тогда \( f(g(3)) = f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 4 = 9 - 15 + 4 = -2 \).

3. Пусть \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \). Найдем стационарные точки:

\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]

Уравнение \( f'(x) = 0 \) дает стационарные точки. Решим:

\[ 3x^2 - 10x + 7 = 0 \]

Используя квадратное уравнение, получаем два корня:

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{3} \]

Теперь определим промежутки возрастания и убывания, используя производную \( f'(x) \).

\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]

Для определения промежутков возрастания и убывания найдем критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует):

\[ 3x^2 - 10x + 7 = 0 \]

Решив это уравнение, мы получим критические точки \( x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{3} \). Построим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{c|ccc|c} x & (5 - \sqrt{5})/3 & (5 + \sqrt{5})/3 & f'(x) & \text{Интервал} \\ \hline -\infty & - & - & + & \text{Убывание} \\ \frac{5 - \sqrt{5}}{3} & - & + & - & \text{Возрастание} \\ \frac{5 + \sqrt{5}}{3} & + & + & + & \text{Убывание} \\ +\infty & + & + & + & \text{Возрастание} \\ \end{array} \]

Таким образом, получаем:

- Промежутки возрастания: \( \left(-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{3}\right) \) и \( \left(\frac{5 + \sqrt{5}}{3}, +\infty\right) \). - Промежутки убывания: \( \left(\frac{5 - \sqrt{5}}{3}, \frac{5 + \sqrt{5}}{3}\right) \).

Теперь найдем точки локального максимума и минимума. Для этого рассмотрим знак производной в окрестности критических точек:

\[ f' \left( \frac{5 - \sqrt{5}}{3} \right) = - \quad \Rightarrow \quad \text{локальный максимум} \]

\[ f' \left( \frac{5 + \sqrt{5}}{3} \right) = + \quad \Rightarrow \quad \text{локальный минимум} \]

Таким образом, у функции \( f(x) \) есть локальный максимум в точке \( x = \frac{5 - \sqrt{5}}{3} \) и локальный минимум в точке \( x = \frac{5 + \sqrt{5}}{3} \).

4. Найдем производную выражения \( (3x + 5)^3 + \sin^2x \):

\[ \frac{d}{dx} \left[ (3x + 5)^3 + \sin^2x \right] \]

Используя цепное правило и правило дифференцирования синуса, получаем:

\[ 3(3x + 5)^2 \cdot 3 + 2 \sin x \cdot \cos x \]

Это можно упростить, но оставим в таком виде.

5. Пусть \( f(x) = \sqrt{1 - 3x} \). Вычислим производную \( f'(x) \) и подставим \( x = \frac{1}{4} \):

\[ f'(x) = \frac{-3}{2 \sqrt{1 - 3x}} \]

Теперь подставим \( x = \frac{1}{4} \):

\[ f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{-3}{2 \sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = \frac{-3}{2 \sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -3 \]