Question

Упростить cos4α+4cos2α+3

Answer 1

cos4α+4cos2α+3

cos4α=2cos^2 (2α)  -1

2cos^2(2α)-1+4cos2α+3 = 2cos^2α+4cos2α+2 = 2(cos^2 (2α)+2cos2α+1) = 2(cos2α+1)^2

Answer 2

Для упрощения выражения cos(4α) + 4cos(2α) + 3 мы можем использовать формулы тригонометрии и алгебраические преобразования. Давайте разберемся подробнее.

Использование формулы двойного угла для косинуса

Формула двойного угла для косинуса гласит:

cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

Мы можем использовать эту формулу, чтобы заменить cos(4α) и cos(2α) в исходном выражении.

Замена cos(4α)

Используя формулу двойного угла, заменим cos(4α):

cos(4α) = 2cos^2(2α) - 1

Замена cos(2α)

Теперь заменим cos(2α) в исходном выражении:

cos(2α) = 2cos^2(α) - 1

Подставляем замены в исходное выражение

Подставим замены в исходное выражение и упростим:

cos(4α) + 4cos(2α) + 3 = 2cos^2(2α) - 1 + 4(2cos^2(α) - 1) + 3

= 2cos^2(2α) + 4cos^2(α) + 3 - 1 - 4

= 2cos^2(2α) + 4cos^2(α) - 2

Использование формулы двойного угла для синуса

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Мы можем использовать эту формулу, чтобы заменить cos^2(α) в итоговом выражении.

Замена cos^2(α)

Заменим cos^2(α) в итоговом выражении:

cos^2(α) = (1 + cos(2α)) / 2

Теперь подставим это обратно в итоговое выражение и упростим:

2cos^2(2α) + 4cos^2(α) - 2 = 2cos^2(2α) + 4((1 + cos(2α)) / 2) - 2

= 2cos^2(2α) + 2(1 + cos(2α)) - 2

= 2cos^2(2α) + 2 + 2cos(2α) - 2

= 2cos^2(2α) + 2cos(2α)

Упрощение итогового выражения

Наконец, упростим это выражение дальше:

2cos^2(2α) + 2cos(2α) = 2cos(2α)(cos(2α) + 1)

Ответ

Таким образом, исходное выражение cos(4α) + 4cos(2α) + 3 упрощается до 2cos(2α)(cos(2α) + 1).