Question

Найти точку максимума функции y=(x+8)^2*e^(17-x)

Answer 1

Y=(x+8)²*e^(17-x)
y`=((x+8)²)`*e^(17-x)+(x+8)²*(e^(17-x))`=2(x+8)e^(17-x)-(x+8)²e^(17-x)=
=(x+8)e^(17-x)*(2-x-8)=0
(x+8)(-x-6)=0
x=-8  x=-6
               _                +                _
------------------(-8)------------(-6)--------------
                     min              max
ymax=y(-6)=4*e^23

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции \( y = (x+8)^2 \cdot e^{17-x} \) потребуется найти первую и вторую производные функции, а затем решить уравнение первой производной равной нулю, чтобы найти точку экстремума.

Нахождение первой производной

Для начала найдем первую производную функции \( y = (x+8)^2 \cdot e^{17-x} \). Для этого применим правило производной произведения двух функций:

\[ y = u \cdot v \] \[ u = (x+8)^2, \quad v = e^{17-x} \]

Применяя правило производной произведения, получаем:

\[ y' = u'v + uv' \] \[ u' = 2(x+8), \quad v' = -e^{17-x} \]

Теперь вычислим производные и получим первую производную:

\[ y' = 2(x+8) \cdot e^{17-x} - (x+8)^2 \cdot e^{17-x} \]

Нахождение второй производной

Теперь найдем вторую производную функции \( y = (x+8)^2 \cdot e^{17-x} \). Для этого продифференцируем первую производную:

\[ y'' = (2e^{17-x} - (x+8)^2 \cdot e^{17-x}) - 2e^{17-x} \]

Нахождение точки максимума

Теперь приравняем первую производную к нулю и найдем точку экстремума:

\[ 2(x+8) \cdot e^{17-x} - (x+8)^2 \cdot e^{17-x} = 0 \]

Это уравнение можно решить численно или аналитически, чтобы найти значение \( x \). После этого можно найти соответствующее значение \( y \) и получить точку максимума функции.

Решение численно

При решении численно, можно использовать методы численной оптимизации, такие как метод Ньютона или метод золотого сечения, чтобы найти значение \( x \).

Заключение

После нахождения точки максимума \( (x, y) \), можно убедиться, что это действительно точка максимума с помощью второй производной, проверив знак второй производной в этой точке.