Question

15 баллов Катети прямокутного трикутника відносяться як 2:3, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 42 дм. Знайти довжину гіпотенузи.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: х дм---- 1 часть

2х дм и 3х дм---- длины катетов

√(4х²+9х²)=√13·х дм---- длина  гипотенузы

42·√13·х=2х·3х⇒  х=7√13( дм) (S=1/2ab=1/2ch)

c=√13·7√13=91(дм)---- длина гипотенузы

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) - это меньший катет, а \(b\) - больший катет. Также у нас есть высота \(h\), проведенная к гипотенузе.

Условие задачи гласит, что отношение катетов равно 2:3, поэтому:

\[a : b = 2 : 3.\]

Мы можем выразить один из катетов через другой, например:

\[a = \frac{2}{3}b.\]

Теперь используем теорему Пифагора, которая гласит, что для прямоугольного треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2,\]

где \(c\) - гипотенуза.

Мы также знаем, что высота, проведенная к гипотенузе, равна 42 дм, то есть \(h = 42\).

Мы можем выразить один из катетов через другие переменные, используя подобие треугольников. Например:

\[a = \frac{2}{3}b,\]

\[b^2 = a^2 + h^2.\]

Теперь подставим выражение для \(a\) из первого уравнения во второе:

\[b^2 = \left(\frac{2}{3}b\right)^2 + h^2.\]

Решим это уравнение для \(b\):

\[b^2 = \frac{4}{9}b^2 + h^2,\]

\[\frac{5}{9}b^2 = h^2,\]

\[b^2 = \frac{9}{5}h^2,\]

\[b = h \sqrt{\frac{9}{5}}.\]

Теперь подставим \(b\) в выражение для \(a\):

\[a = \frac{2}{3}b = \frac{2}{3}h \sqrt{\frac{9}{5}}.\]

Теперь у нас есть выражения для обоих катетов в терминах высоты \(h\). Теперь можем найти гипотенузу:

\[c^2 = a^2 + b^2,\]

\[c^2 = \left(\frac{2}{3}h \sqrt{\frac{9}{5}}\right)^2 + \left(h \sqrt{\frac{9}{5}}\right)^2.\]

Решим это уравнение для \(c\):

\[c^2 = \frac{4}{9}h^2 \cdot \frac{9}{5} + h^2 \cdot \frac{9}{5},\]

\[c^2 = \frac{4}{5}h^2 + \frac{9}{5}h^2,\]

\[c^2 = \frac{13}{5}h^2,\]

\[c = h \sqrt{\frac{13}{5}}.\]

Теперь подставим значение высоты \(h = 42\):

\[c = 42 \sqrt{\frac{13}{5}}.\]

Это и есть длина гипотенузы. Вычислив это значение, мы получаем:

\[c \approx 65.73 \, \text{дм}.\]

Таким образом, длина гипотенузы составляет приблизительно 65.73 дм.