Question

Исследовать функцию z=3x^2 - x^3 +3y^2+4y на экстремум

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нужно найти значения x и y, при которых производные первого порядка функции равны нулю или не существуют.

Для начала найдем частные производные функции по x и y.

Частная производная функции по x (при фиксированном y): ∂z/∂x = 6x - 3x^2

Частная производная функции по y (при фиксированном x): ∂z/∂y = 6y + 4

Далее, приравняем эти производные к нулю:

6x - 3x^2 = 0 6y + 4 = 0

Первое уравнение можно привести к виду:

3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

Подставим эти значения обратно во второе уравнение:

6y + 4 = 0

При x = 0: 6y + 4 = 0 6y = -4 y = -4/6 y = -2/3

При x = 2: 6y + 4 = 0 6y = -4 y = -4/6 y = -2/3

Таким образом, найденные значения x и y, при которых производные равны нулю, равны x = 0 и y = -2/3, а также x = 2 и y = -2/3.

Далее важно провести вторую производную для того, чтобы определить тип экстремума.

Для этого найдем частные производные второго порядка:

Частная производная второго порядка по x: ∂^2z/∂x^2 = 6 - 6x

Частная производная второго порядка по y: ∂^2z/∂y^2 = 6

Теперь подставим найденные значения x и y:

При x = 0, y = -2/3: ∂^2z/∂x^2 = 6 - 6*0 = 6 ∂^2z/∂y^2 = 6

При x = 2, y = -2/3: ∂^2z/∂x^2 = 6 - 6*2 = -6 ∂^2z/∂y^2 = 6

Таким образом, получаем следующие значения вторых частных производных:

При x = 0, y = -2/3: ∂^2z/∂x^2 = 6, ∂^2z/∂y^2 = 6 При x = 2, y = -2/3: ∂^2z/∂x^2 = -6, ∂^2z/∂y^2 = 6

Исследуя значения вторых частных производных, можно сделать следующие выводы:

1. При x = 0, y = -2/3: ∂^2z/∂x^2 > 0 и ∂^2z/∂y^2 > 0, значит на этой точке функция имеет минимум.

2. При x = 2, y = -2/3: ∂^2z/∂x^2 < 0 и ∂^2z/∂y^2 > 0, значит на этой точке функция имеет максимум.

Таким образом, функция z = 3x^2 - x^3 + 3y^2 + 4y имеет минимум при x = 0 и y = -2/3, а также максимум при x = 2 и y = -2/3.