Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение: 1/2+ cosX+cos2x+cos3x+cos4x=0

Answer 1

Т.к. cos(2x)+cos(4x)=2cos(3x)cos(x), то
1/2+ cos(x)+cos(3x)+2cos(3x)cos(x)=0
(1/2+ cos(x))+2cos(3x)(1/2+cos(x))=0
(1/2+ cos(x))(1+2cos(3x))=0
cos(x)=-1/2; cos(3x)=-1/2
x=±2π/3+2πk и
x=±2π/9+2πk/3, k∈Z.

Answer 2

Для решения этого тригонометрического уравнения, мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса, которая гласит:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

И формулу тройного угла для косинуса:

cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Также, используя формулу четвертого угла для косинуса:

cos(4x) = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1

Теперь мы можем подставить эти значения в исходное уравнение:

1/2 * cos(x) + 2cos^2(x) - 1 + 4cos^3(x) - 3cos(x) + 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1 = 0

Упростим это уравнение:

8cos^4(x) + 2cos^2(x) + 1/2 * cos(x) - 8cos^2(x) + 4cos^3(x) - 3cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем представить это уравнение в виде квадратного уравнения относительно cos(x):

8cos^4(x) - 6cos^2(x) + 1/2 * cos(x) + 4cos^3(x) - 3cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью методов решения квадратных уравнений. Для этого мы можем воспользоваться методом подстановки или методом графиков.

После того, как мы найдем значения cos(x), мы сможем найти значения x, используя обратные тригонометрические функции.

Это даст нам решение исходного тригонометрического уравнения.