Question

45 малышей в детском саду строят из кубиков двух цветов башни высотой 5 кубиков. Доказать, что среди этих башен есть хотя бы две одинаковые.

Answer 1

Так как каждый кубик может быть одного из двух цветов, то количевство возможных башен будет 2*2*2*2*2=32

А малышей 45, значит среди этих башен найдутся две одинаковые (32 разные, 33 -я по любому совпадет с одной из 32 башен)

Доказано

 

\\Обозначим цвета К и С

Тогда возможные варианты построения башень, начиная с нижнего

ККККК

1

ККККС

КККСК

ККСКК

КСККК

СКККК

5

КККCC

ККССК

КССКК

ССККК

4

СКККС

СКСКК

СККСК

КСКСК

КСККС

ККСКС

6

СССКК

КСССК

ККССС

3

ССКСК

ССККС

КССКС

СКССК

СККСС

КСКСС

6

СКСКС

1

ССССК

КСССС

2

СССКС

СКССС

2

ССКСС

1

ССССС

1

1+5+4+6+3+6+1+2+2+1+1=32 \\\

Answer 2

Решение задачи: Построение башен из кубиков

Для доказательства того, что среди башен высотой 5 кубиков, построенных из двух цветов, есть хотя бы две одинаковые, можно воспользоваться принципом Дирихле.

Принцип Дирихле утверждает, что если n объектов распределены по m ящикам, и n > m, то как минимум в одном из ящиков будет не менее одного объекта.

В данной задаче можно рассматривать цвета кубиков как "ящики", а башни высотой 5 кубиков как "объекты". Таким образом, если количество цветов кубиков больше, чем количество башен, то по принципу Дирихле как минимум в одном цвете будет построено не менее одной башни.

Применение принципа Дирихле к задаче

Итак, у нас есть 45 малышей в детском саду, которые строят из кубиков двух цветов башни высотой 5 кубиков. По принципу Дирихле, если количество цветов кубиков (2) больше, чем количество башен (45), то как минимум в одном цвете будет построено не менее одной башни.

Таким образом, среди этих башен есть хотя бы две одинаковые.