Question

Исследуйте функцию f(x)=x^3-3x^2 и найдите еë 1) область определения; 2) область значения; 3) экстремумы ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: но фото

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию \(f(x) = x^3 - 3x^2\) по пунктам:

1. Область определения: Функция \(f(x)\) может быть определена для любых действительных чисел \(x\). Это означает, что область определения функции - это множество всех действительных чисел, то есть \(\mathbb{R}\).

2. Область значений: Чтобы найти область значений функции, мы можем проанализировать её поведение. Сначала давайте найдем производную функции и рассмотрим её экстремумы.

Производная функции \(f(x)\): \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).

Чтобы найти критические точки (точки, где производная равна нулю), решим уравнение: \(3x^2 - 6x = 0\).

Факторизуем это уравнение: \(3x(x - 2) = 0\).

Решениями этого уравнения являются \(x = 0\) и \(x = 2\). Теперь мы можем провести анализ интервалов, разделенных этими критическими точками.

a. Если \(x < 0\), то \(f'(x) > 0\), что означает, что функция \(f(x)\) увеличивается на этом интервале. b. Если \(0 < x < 2\), то \(f'(x) < 0\), что означает, что функция \(f(x)\) убывает на этом интервале. c. Если \(x > 2\), то \(f'(x) > 0\), и функция \(f(x)\) снова увеличивается.

Теперь мы знаем, что у функции есть локальный максимум в точке \(x = 0\) и локальный минимум в точке \(x = 2\). Эти значения могут помочь нам определить область значений функции.

Для \(x = 0\) мы имеем: \(f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\).

Для \(x = 2\) мы имеем: \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4\).

Таким образом, область значений функции \(f(x)\) - это множество всех действительных чисел, так как функция принимает любые значения между \(-4\) (минимум) и плюс бесконечностью (функция увеличивается в бесконечность при \(x \to +\infty\)).

3. Экстремумы: Мы уже нашли, что функция имеет локальный максимум в точке \(x = 0\) и локальный минимум в точке \(x = 2\). Значения этих экстремумов равны соответственно \(0\) и \(-4\).

Таким образом, экстремумы функции \(f(x)\) следующие: - Локальный максимум: \(x = 0\) со значением \(f(0) = 0\). - Локальный минимум: \(x = 2\) со значением \(f(2) = -4\).

Это полное исследование функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\).