Question

Докажите , что при любых значениях переменной неравенства верны. (4a-1)(4a+1)-(5a-7)^2<14(5a-1)

Answer 1

(4a-1)(4a+1)-(5a-7)^2<14(5a-1)

16а²-1-25а²+70а-49-70а+14=-9а²-36- отрицательно, т.к. первое выражение неположительно. второе отрицательно. доказано

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы должны разложить все многочлены, упростить их и показать, что получится верное утверждение. Давайте начнем:

(4a-1)(4a+1) = 16a^2 - 1

(5a-7)^2 = (5a-7)(5a-7) = 25a^2 - 70a + 49

14(5a-1) = 70a - 14

Теперь подставим эти значения в исходное неравенство:

16a^2 - 1 - (25a^2 - 70a + 49) < 70a - 14

Теперь упростим неравенство:

16a^2 - 1 - 25a^2 + 70a - 49 < 70a - 14

Переносим все элементы в одну часть неравенства:

-9a^2 + 70a - 50 < 0

Теперь пытаемся решить это квадратное неравенство при помощи дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4*(-9)*(-50) = 4900 - 1800 = 3100

Так как дискриминант положительный, то при любых значениях переменной a неравенство верно.