Question

Доказать ограниченность последовательности: ​

Answer 1

Сначала рассмотрим производную от функции $f(x) = \frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}}$, то есть

$f'(x) = \frac{\left(1-x\right)'_{x}\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}-\left(\sqrt{{x}^{2}+1}\right)'\cdot \left(1-x\right)}{{x}^{2}+1}=\\=\frac{\left(-\left(x\right)'+\left(1\right)'\right)\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}-\dfrac{1-x}{2\,\sqrt{{x}^{2}+1}}\cdot \left({x}^{2}+1\right)'}{{x}^{2}+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-\dfrac{\left(1-x\right)\,x}{\left({{x}^{2}+1}\right)^{{3/2}}}$

Очевидно, что когда $x \geq 1$, то $f'(x) \leq 0$, поэтому $\left \{ a_n \right \}$убывает

Рассмотрим

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac1x-1}{\sqrt{\frac1{x^2}+1}} = -1$

А значит $a_n > -1$, следовательно, $-1 < a_n \leq 0$ ограничена

Answer 2

Ответ:

...................................................

Объяснение:

Answer 3

Для доказательства ограниченности последовательности, необходимо показать, что существует такое число, которое является верхней или нижней границей для всех элементов последовательности.

Пусть дана последовательность {an}, где n - натуральное число. Для доказательства ограниченности последовательности можно использовать два метода: метод сравнения и метод арифметических действий.

1. Метод сравнения: Для доказательства ограниченности последовательности {an} с помощью метода сравнения, необходимо найти две другие последовательности {bn} и {cn}, такие что bn ≤ an ≤ cn для всех n, и доказать, что последовательности {bn} и {cn} ограничены.

Например, пусть {an} = (-1)^n. Тогда можно выбрать {bn} = -1 и {cn} = 1. Очевидно, что -1 ≤ (-1)^n ≤ 1 для всех n, и последовательности {bn} и {cn} ограничены. Следовательно, последовательность {an} ограничена.

2. Метод арифметических действий: Для доказательства ограниченности последовательности {an} с помощью метода арифметических действий, необходимо использовать свойства арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и доказать, что последовательность ограничена.

Например, пусть {an} = 2^n. Тогда можно заметить, что каждый следующий элемент последовательности больше предыдущего в два раза. Таким образом, последовательность {an} будет возрастающей. Теперь, чтобы доказать ограниченность последовательности, можно взять любое число больше 2 (например, 3) и показать, что для всех n выполняется неравенство 2^n ≤ 3^n. Поскольку последовательность {an} ограничена сверху числом 3, она является ограниченной.

Таким образом, для доказательства ограниченности последовательности можно использовать метод сравнения или метод арифметических действий. В обоих случаях необходимо найти другие последовательности, которые будут ограничивать исходную последовательность, и доказать, что эти последовательности сами ограничены.