Question

У садовника имеются саженцы 5 видов деревьев (саженцы одного вида считаются одинаковыми). Садовнику надо высадить шесть деревьев в ряд - от фонтана до лавочки. Сколькими способами можно высадить деревья в каждом из следующих случаев? a) Все виды деревьев должны быть представленыб) Должно быть представлено не менее трех видов деревьев. Случай A) решен мной, если решен не правильно, укажите на ошибку.

Answer 1

Я рассуждаю следующим образом:
а) Выбираю вид деревьев, которых будет двое: 5 вариантов.
Выбираю две лунки под эти деревья из 6 возможных: $C_6^2$ вариантов.
В остальные 4 лунки сажаю 4 дерева, по одному дереву каждого вида: 4! варианта.
Окончательно получается: $N = 5* \frac{6!}{2!*4!}*4!=5*3*4*5*6=1800$ способов.

Ошибка в Вашем рассуждении: полученное Вами число нужно разделить на два - количество возможных "обменов" между двумя посаженными деревьями одного вида. Для внешнего наблюдателя все эти варианты воспринимаются как один.

б) Количество способов высадить 6 деревьев таким образом, чтоб было представлено представлено не менее трех видов деревьев
равно
количеству способов высадить 6 деревьев, которые выбираются произвольным образом из деревьев 5 видов (5⁶)
минус
количество способов высадить 6 деревьев одного вида, который выбирается из пяти возможных видов (5)
минус
количество способов высадить 6 деревьев двух видов, которые, в свою очередь, выбираются из пяти возможных ($C_5^2*(2^6-2)$).
$N=5^6-5-C_5^2*(2^6-2)=5^6-5-\frac{5!}{2!*3!} *62=5^6-5-10*62=15000$