Question

Докажите, что при любых значениях переменной значение квадратного трехчлена: а) у^2-4у+7 положительно б) -у^2+6у-15Помогите пожалуйста!!!

Answer 1

Ответ:

Объяснение:a)y²-4y+7=(y-2)²+3>0 при всех у∈R

б)-y²+6y-15=- (y²-6y+15)=-((y-3)²+6)=-(y-3)²-6<0 при всех у∈R

Answer 2

Для доказательства, что выражение \(y^2 - 4y + 7\) всегда положительно, нам нужно использовать метод завершения квадрата, чтобы выразить его в другой форме. Мы знаем, что любой квадратный трехчлен вида \(ay^2 + by + c\) можно представить в виде суммы квадрата некоторого выражения и постоянного члена. Давайте сделаем это: \[ y^2 - 4y + 7 = (y^2 - 4y + 4) + 7 - 4 \] Теперь давайте завершим квадрат, добавив и вычитая \(4\) внутри скобки: \[ (y^2 - 4y + 4) + 7 - 4 = (y^2 - 4y + 4) + 3 \] Теперь мы можем выразить \(y^2 - 4y + 4\) как квадрат \( (y - 2)^2 \), и мы получим: \[ (y^2 - 4y + 4) + 3 = (y - 2)^2 + 3 \] Теперь видно, что выражение \((y - 2)^2\) всегда неотрицательно, так как это квадрат разности, и он всегда больше или равен нулю. Таким образом, \((y - 2)^2 + 3\) всегда больше или равно \(3\), и, следовательно, выражение \(y^2 - 4y + 7\) всегда больше или равно \(3\). Теперь давайте рассмотрим второе выражение \(-y^2 + 6y - 15\): \[ -y^2 + 6y - 15 = -(y^2 - 6y + 15) \] Мы можем провести аналогичные шаги, чтобы завершить квадрат внутри скобки: \[ -(y^2 - 6y + 15) = -(y^2 - 6y + 9 - 9 + 15) = -(y^2 - 6y + 9) + 9 - 15 = -(y - 3)^2 - 6 \] Теперь мы видим, что \(-(y - 3)^2\) всегда неотрицательно, так как это отрицательный квадрат разности. Таким образом, \(-(y - 3)^2 - 6\) всегда меньше или равно \(-6\). Итак, мы доказали, что: 1. \(y^2 - 4y + 7\) всегда больше или равно \(3\). 2. \(-y^2 + 6y - 15\) всегда меньше или равно \(-6\). Таким образом, при любых значениях переменной \(y\), \(y^2 - 4y + 7\) всегда положительно, а \(-y^2 + 6y - 15\) всегда меньше или равно \(-6\).