Question

Существуют ли числа a и b, такие, что a*cos(x)-b*cos(2x)>1? X-любое.

Answer 1

$acosx-bcos2x>1,\\acosx-b(2cos^2x-1)-1>0,\\\boxed{t:=cosx \Leftrightarrow t \in [-1;1]}\\at-b(2t^2-1)-1>0,\\2bt^2-at-b+1$

Переформулируем задачу:

Существуют ли числа a и b, такие, что 2bt² - at - b + 1 < 0 при любом t ∈ [-1; 1]?

$\boxed{f(t):=2bt^2-at-b+1}$

0 ∈ [-1; 1] ⇒ f(0) = 2b·0² - a·0 - b + 1 = 1 - b < 0 ⇔ b > 1.

Тогда при b > 1, график y = f(t) - парабола с ветвями вверх. Значит, решение неравенства f(t) < 0 имеет вид: (t₁; t₂), где t₁, t₂ - корни f(t).

По условию задачи должно выполняться: [-1; 1] ⊂ (t₁; t₂). То есть меньший корень должен быть меньше -1, а больший - больше 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы

$\left \{ {{f(-1)$

Но, как выяснилось ранее, b > 1 - противоречие.

Ответ: нет.

Answer 2

Для того чтобы определить, существуют ли числа a и b, такие, что выражение `a*cos(x) - b*cos(2x) > 1` выполняется для любого значения x, давайте рассмотрим свойства функций cos(x) и cos(2x).

Функция cos(x) представляет собой график из косинусоид, который повторяется с периодом 2π. В пределах одного периода cos(x) изменяется от -1 до 1. Следовательно, a*cos(x) может принимать значения в диапазоне от -|a| до |a|.

Функция cos(2x) также имеет период 2π и изменяется от -1 до 1 в пределах одного периода. Однако, по сравнению с cos(x), она "сжимает" график и удваивает количество периодов на единицу длины.

Теперь вернемся к исходному неравенству `a*cos(x) - b*cos(2x) > 1`. Поскольку a*cos(x) может принимать значения в диапазоне от -|a| до |a|, то разность `a*cos(x) - b*cos(2x)` также будет изменяться в зависимости от значений a и b. Однако, нам нужно доказать, что эта разность больше 1 для любых значений x.

Предположим, что такие значения a и b существуют. Если рассмотреть точку x = 0, то исходное неравенство превращается в `a - b > 1`.

Теперь рассмотрим точку x = π/2. В этом случае исходное неравенство превращается в `-a - b > 1`.

Итак, мы получаем два неравенства:
1) a - b > 1
2) -a - b > 1

Мы можем складывать эти неравенства, чтобы убедиться, что a или b должны превышать 1 в абсолютном значении:
(a - b) + (-a - b) > 2
-2b > 2
b < -1

Однако, мы также предположили, что такие значения a и b существуют. Это противоречит нашим рассуждениям, так как на самом деле для a и b не существует таких чисел, чтобы выполнялось неравенство a*cos(x) - b*cos(2x) > 1 для любого значения x.

Итак, ответ: нет, не существуют числа a и b, для которых исходное неравенство `a*cos(x) - b*cos(2x) > 1` выполняется для любого значения x.