Question

Найти производную y=5e^3x+4*8^1-x

Answer 1

Производная суммы, равна сумме производных:

$(5e^{3x}+4\cdot8^{1-x})'=(5e^{3x})'+(4\cdot8^{1-x})'\\\\(5e^{3x})'=5e^{3x}\cdot (3x)'=15e^{3x}\\\\(4\cdot8^{1-x})=4(8^{1-x})'=4(8^{1-x}\ln 8\cdot (1-x)')=-4\cdot 8^{1-x}\ln 8=\\\\-2^2\cdot (2^3)^{1-x}\ln 8=-2^{5-3x}\ln 8\\\\(5e^{3x}+4\cdot8^{1-x})'=15e^{3x}-2^{5-3x}\ln 8$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = 5e^(3x) + 4 * 8^(1 - x), мы будем использовать правила дифференцирования.

1. Начнем с первого слагаемого: y₁ = 5e^(3x).

Производная экспоненциальной функции e^(ax) по x равна a * e^(ax). В данном случае a = 3, поэтому производная первого слагаемого будет:

y₁' = 5 * 3 * e^(3x) = 15e^(3x).

2. Теперь рассмотрим второе слагаемое: y₂ = 4 * 8^(1 - x).

Мы можем заметить, что 8^(1 - x) можно записать как (2^3)^(1 - x) = 2^(3(1 - x)). Теперь используем правило дифференцирования для a^(bx):

Дифференцирование a^(bx) по x дает (ln(a) * a^(bx)) * b. В данном случае a = 2 и b = 3(1 - x), поэтому производная второго слагаемого будет:

y₂' = 4 * (ln(2) * 2^(3(1 - x))) * 3(1 - x) = 12ln(2) * 2^(3(1 - x)) * (1 - x).

3. Теперь объединим производные обоих слагаемых:

y' = y₁' + y₂' = 15e^(3x) + 12ln(2) * 2^(3(1 - x)) * (1 - x).

Это и есть производная исходной функции y по x.