Question

Log^2_0,5(x)+log_0,5(x)-2≤0

Answer 1

Log(0,5)x=a
ОДЗ x>0
a²+a-2≤0
a1+a2=-1 U a1*a2=-2
a1=-2 u a2=1
-2≤a≤1
-2≤log(0,5)x≤1
1/2≤x≤4
x∈[0,5;4]

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте разберемся с его компонентами по порядку.

Неравенство имеет следующий вид:

log^2_0,5(x) + log_0,5(x) - 2 ≤ 0

Первое слагаемое log^2_0,5(x) можно переписать как (log_0,5(x))^2. Таким образом, неравенство можно переписать следующим образом:

(log_0,5(x))^2 + log_0,5(x) - 2 ≤ 0

Давайте введем новую переменную, чтобы упростить запись. Пусть u = log_0,5(x). Тогда наше неравенство примет вид:

u^2 + u - 2 ≤ 0

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни, приравняв выражение в левой части неравенства к нулю:

u^2 + u - 2 = 0

Применяя формулу дискриминанта, получаем:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

D положительный, поэтому у нас есть два различных корня:

u1 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-1 + sqrt(9))/(2*1) = (-1 + 3)/2 = 1

u2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-1 - sqrt(9))/(2*1) = (-1 - 3)/2 = -2

Теперь давайте посмотрим на интервалы, на которых неравенство выполняется.

Для u < -2 неравенство u^2 + u - 2 ≤ 0 не выполняется. Для -2 ≤ u ≤ 1 неравенство u^2 + u - 2 ≤ 0 выполняется. Для u > 1 неравенство u^2 + u - 2 ≤ 0 не выполняется.

Теперь вернемся к исходной переменной x. Подставив u = log_0,5(x), получаем:

log_0,5(x) < -2 или -2 ≤ log_0,5(x) ≤ 1

Используя определение логарифма, можно переписать это как:

0,5^(-2) < x или 0,5^(-2) ≤ x ≤ 0,5^1

Упрощая, получаем:

0,5^(-2) < x или 1/4 < x ≤ 1/2

Таким образом, решением исходного неравенства log^2_0,5(x) + log_0,5(x) - 2 ≤ 0 является интервал (1/4, 1/2], где x принадлежит к множеству действительных чисел.