Question

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)

Answer 1

(а+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)
(a+b)²+(a-b)²=a²+2ab+b²+a²-2ab+b²=2a²+2b²=2(a²+b²)

Answer 2

Разложение бинома

Для начала, давайте разложим выражение (a+b)^2 по формуле квадрата суммы двух слагаемых:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Затем, разложим выражение (a-b)^2 по формуле квадрата разности двух слагаемых:

(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2

Сравнение с 2(a^2 + b^2)

Теперь сравним полученные разложения с выражением 2(a^2 + b^2):

2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2

Мы можем заметить, что оба разложения (a+b)^2 и (a-b)^2 содержат слагаемые a^2 и b^2, но с разными коэффициентами. В разложении 2(a^2 + b^2) эти слагаемые имеют одинаковые коэффициенты - 2.

Следствие

Следствием из этого сравнения является равенство:

(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)

Это равенство называется формулой суммы квадратов и является важным результатом в алгебре. Оно показывает, что сумма квадратов двух чисел (a+b)^2 и (a-b)^2 равна удвоенной сумме квадратов этих чисел 2(a^2 + b^2).

Пример

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания. Пусть a = 3 и b = 2. Подставим значения в исходное уравнение:

(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)

(3+2)^2 + (3-2)^2 = 2(3^2 + 2^2)

5^2 + 1^2 = 2(9 + 4)

25 + 1 = 2(13)

26 = 26

Оба выражения равны друг другу, что подтверждает верность формулы.

Таким образом, (a+b)^2 + (a-b)^2 всегда равно 2(a^2 + b^2) для любых значений a и b.