Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х^2+2; у= 4+х

Answer 1

Y = x^2 + 2 - парабола, ветви направлены вверх.
y = 4 + x - прямая, проходящая через точки (0;4), (2;6)

$S=\displaystyle \int ^2_{-1}(4+x-(x^2+2))dx=\int^2_{-1}(-x^2+x+2)dx=\\ \\ \\ =\bigg(- \frac{x^3}{3}+ \frac{x^2}{2}+2x\bigg)\bigg|^2_{-1}=- \frac{8}{3} +2+4- \frac{1}{3} -0.5+2=4.5$

Answer 2

Я могу помочь вам с вычислением площади фигуры, ограниченной линиями. Для этого я буду использовать свойство аддитивности площадей и формулу Ньютона-Лейбница. Вот подробный ответ:

Для начала найдем точки пересечения линий у=х^2+2 и у=4х. Для этого решим уравнение х^2+2=4х, или х^2-4х+2=0. Корнями этого уравнения являются х1=2-$$\sqrt{2}$$ и х2=2+$$\sqrt{2}$$.

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями, как разность площадей под графиками функций у=4х и у=х^2+2 на отрезке [х1, х2]. Для этого применим формулу:

$$S=\int_{x_1}^{x_2}(4x-x^2-2)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}-2x\right]_{x_1}^{x_2}$$

Подставив границы интегрирования, получим:

$$S=2(2+\sqrt{2})^2-\frac{(2+\sqrt{2})^3}{3}-2(2+\sqrt{2})-2(2-\sqrt{2})^2+\frac{(2-\sqrt{2})^3}{3}+2(2-\sqrt{2})$$

Упростив выражение, получим окончательный ответ:

$$S=\frac{16}{3}+4\sqrt{2}$$

Если вам нужна более подробная информация о том, как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, вы можете посмотреть эти источники:

- [Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями](https://allcalc.ru/node/673) - [(Решено)Упр.49.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс](https://reshak.ru/otvet/otvet5.php?otvet1=49-11) - [Площадь фигуры ограниченной линиями с примерами решения](https://natalibrilenova.ru/ploschad-figuryi-ogranichennoj-liniyami/) - [Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=4-х^2; у=0](https://uchi.ru/otvety/questions/vichislit-ploschad-figuri-ogranichennoy-liniyami-u-4-h-2-u-0)

Надеюсь, что это было полезно для вас. Спасибо за использование Bing.