Question

Фигура ограничена линиями y=lnx x=2 y=0. Найти объём тела образованного вращением этой фигуры вокруг оси OX

Answer 1

$y=lnx\; ,\; \; x=2\; ,\; \; y=0\\\\V=\pi \int\limits^a_b {f^2(x)}\, dx=\pi \int\limits^2_1 ln^2x\, dx\\\\\int ln^2x\, dx=[u=ln^2x,\; du=2lnx\cdot \frac{dx}{x},\; dv=dx,\; v=x]=\\\\=x\cdot ln^2x-2\int lnx\, dx=[u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot ln^2x-2\cdot (x\cdot lnx-\int dx)=\\\\=x\cdot ln^2x-2x\cdot lnx+2x+C\\\\V=\pi \cdot (x\cdot ln^2x-2x\cdot lnx+2x)\Big |_1^2=\pi \cdot (2\cdot ln^22-4\cdot ln2+4-2)=\\\\=2\pi \cdot (ln^22-2ln2+1)=2\pi \cdot (ln^2x-ln4+1)$

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, вы можете использовать метод вращения. Для этого сначала найдем площадь поперечного сечения фигуры, затем будем интегрировать эту площадь вдоль оси X.

Площадь поперечного сечения фигуры можно найти, используя интеграл площади между кривой y = ln(x), линией x = 2 и осью X (горизонтальной линией y = 0).

Сначала найдем точку пересечения кривой y = ln(x) и линии x = 2. Для этого решим уравнение:

ln(x) = 2

Это эквивалентно:

x = e^2

Теперь мы знаем, что границы интеграции для X будут от 2 до e^2. Таким образом, площадь поперечного сечения будет равна:

$A(x) = \int_{2}^{e^2} \ln(x) \, dx$

Интегрируем:

$A(x) = [x\ln(x) - x]_{2}^{e^2}$

$A(x) = (e^2\ln(e^2) - e^2) - (2\ln(2) - 2)$

$A(x) = (2e^2 - e^2) - (2\ln(2) - 2)$

$A(x) = e^2 - 2\ln(2) - e^2 + 2$

$A(x) = 2 - 2\ln(2)$

Теперь, чтобы найти объем вращения, выполненного вокруг оси OX, интегрируем это поперечное сечение от 0 до 2e^2:

$V = \int_{0}^{2e^2} (2 - 2\ln(2)) \, dx$

$V = [2x - 2\ln(2)x]_{0}^{2e^2}$

$V = (4e^2 - 4e^2\ln(2)) - (0 - 0)$

$V = 4e^2(1 - \ln(2))$

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, равен:

$V = 4e^2(1 - \ln(2))$