Question

Найдите два положительных числа, таких, что сумма их квадратов равна 300, а произведение одного из них на квадрат второго дает наибольшее значение

Answer 1

Числа: a и b 
a² + b² = 300 ---> b² = 300 - a² 
a*b² ---> max
f(a) = a(300 - a²) --->max
f '(a) = 300 - 3a² = 0 (условие нахождения экстремума) 
a² = 100 ---> a = 10 (положительное) 
b² = 300-100 = 200
b = 10√2

Answer 2

Task/28653336
--------------------
Найдите два положительных числа, таких, что сумма их квадратов равна 300, а произведение одного из них на квадрат второго дает наибольшее значение
----------------------------------------------------------------
решение :
{ x > 0 , y > 0 , x² + y² =300 , f(x) = x*y²  → max 
{ x > 0 , y > 0 , y² =300 - x² , f(x) = x(300 - x²) → max 
f(x) = x(300 - x²) =300x - x³ ;
f ' (x) =(300x - x³) ' = (300x ) ' - (x³) ' =300 - 3x² =3(100 - x²) =3(10- x) (10+x) 

f '(x)          " - "                        " + "                         " - "   
------------------------ (-10) --------------------- (10) -------------------
f(x)   (убывает) ↓            ↑ (возрастает)          ↓ (убывает) 
                              min                            max   

x = 10  ⇒  y = √(300 -x²) = √(300 -10²) =  √200  = 10√2 .

ответ :  10 ; 10√2 .

Answer 3

Давайте обозначим два положительных числа как x и y. У нас есть два условия:

1. x^2 + y^2 = 300
2. xy^2 - это функция, которую мы хотим максимизировать.

Мы можем использовать метод множителей Лагранжа, чтобы найти значения x и y, которые максимизируют xy^2 при условии x^2 + y^2 = 300. Создадим функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = xy^2 + λ(x^2 + y^2 - 300)

Теперь найдем частные производные по x, y и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂x = y^2 + 2λx = 0 ∂L/∂y = 2xy + 2λy = 0 ∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 300 = 0

Из первых двух уравнений мы можем выразить x и y в терминах λ:

y^2 + 2λx = 0 => 2λx = -y^2 => x = -y^2 / (2λ)

2xy + 2λy = 0 => 2y(x + λ) = 0 => x + λ = 0 => x = -λ

Теперь мы можем заменить x в третьем уравнении:

x^2 + y^2 - 300 = 0 (-λ)^2 + y^2 - 300 = 0 λ^2 + y^2 - 300 = 0

Теперь у нас есть два уравнения, которые связывают λ и y:

1. λ^2 + y^2 - 300 = 0
2. x = -λ

Мы хотим максимизировать xy^2, что эквивалентно максимизации (-λ)y^2. Поэтому нам нужно найти значение λ, которое максимизирует уравнение 1.

Сначала найдем λ, решив уравнение 1:

λ^2 + y^2 = 300

Теперь, чтобы максимизировать (-λ)y^2, мы должны выбрать максимальное значение λ из этого уравнения. Максимальное значение λ будет соответствовать максимальному значению (-λ)y^2, так как y^2 всегда положительное.

Из уравнения λ^2 + y^2 = 300 следует, что λ^2 = 300 - y^2. Максимальное значение λ будет соответствовать минимальному значению y^2, так как λ^2 всегда положительное.

Чтобы минимизировать y^2, мы должны выбрать минимальное значение y, и это будет соответствовать минимальному значению x^2. Таким образом, наши два числа x и y будут находиться на границе фигуры, ограниченной уравнением x^2 + y^2 = 300.

Эта фигура - окружность с радиусом √300. Минимальное значение y будет в точке, где y = 0, и это соответствует минимальному значению x^2 = 300, то есть x = ±√300.

Итак, два положительных числа, которые удовлетворяют условиям задачи, будут:

x = √300 y = 0

или

x = 0 y = √300

В обоих случаях x^2 + y^2 = 300, и значение xy^2 будет максимальным.