Question

Докажите тождество:g'(x)=(g(x)/cosx)^2, если g(x)=ctgx+ctgп/2

Answer 1

(ctgx+ctgп/2)/cosx=1/sinx

ctgП/2=0

ctg'(x)=-1/sin^2x

g'(x)=(g(x)/cosx)^2, если g(x)=ctgx+ctgп/2

т.о. должен вас, сильно огорчить тождество не верно

Answer 2

Для начала, найдем производную функции g(x) = ctg(x) + ctg(π/2) по определению производной для суммы:

g'(x) = (ctg(x))' + (ctg(π/2))'

Теперь найдем производные от отдельных слагаемых. Для этого воспользуемся формулами производных тригонометрических функций:

(ctg(x))' = -csc^2(x) (ctg(π/2))' = 0 (так как ctg(π/2) = 0)

Теперь подставим найденные производные обратно в исходное выражение:

g'(x) = -csc^2(x) + 0 = -csc^2(x)

Теперь перейдем к доказательству тождества:

(g(x)/cos(x))^2 = (ctg(x)/cos(x))^2

Заметим, что ctg(x) = cos(x)/sin(x). Подставим это выражение вместо ctg(x):

(g(x)/cos(x))^2 = ((cos(x)/sin(x))/cos(x))^2 = (1/sin(x))^2 = csc^2(x)

Таким образом, мы получили, что (g(x)/cos(x))^2 = csc^2(x), что совпадает с найденным ранее значением производной g'(x). Таким образом, тождество g'(x) = (g(x)/cos(x))^2 доказано.