Question

Повний розпис .Знайдіть проміжки монотонності, точки екстремух екстремуми функції у = 2х-x²​

Answer 1

Щоб знайти проміжки монотонності, точки екстремумів та екстремуми функції f(x) = 2x - x², спочатку знайдемо похідну функції f'(x) та розв'яжемо рівняння f'(x) = 0 для знаходження точок екстремуму.

Знаходження похідної:

• f'(x) = d/dx (2x - x²)
• = 2 - 2x

Знаходимо точки екстремуму:

• f'(x) = 0
• 2 - 2x = 0
• 2x = 2
• x = 1

Таким чином, точка екстремуму x = 1.

Досліджуємо знак похідної та визначаємо проміжки монотонності:

3.1. Розглянемо інтервал (-∞, 1):

Для x < 1:

f'(x) = 2 - 2x < 0 (знак "менше нуля")

Таким чином, на цьому інтервалі функція f(x) спадає.

3.2. Розглянемо інтервал (1, +∞):

Для x > 1:

f'(x) = 2 - 2x > 0 (знак "більше нуля")

Таким чином, на цьому інтервалі функція f(x) зростає.

Знаходимо значення функції f(x) у точці екстремуму:

• f(1) = 2(1) - (1)²
• = 2 - 1
• = 1

Таким чином, екстремум функції f(x) в точці (1, 1).

Отже, результати аналізу функції f(x) = 2x - x² на проміжках монотонності та точки екстремуму такі:

• Функція спадає на інтервалі (-∞, 1).
• Функція зростає на інтервалі (1, +∞).
• Є точка екстремуму в точці (1, 1).

Answer 2

Щоб знайти проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції $f(x) = 2x - x^2$, спершу знайдемо похідну цієї функції та розв'яжемо рівняння першої похідної для знаходження критичних точок.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - x^2) = 2 - 2x$

2. Розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$, щоб знайти критичні точки: $2 - 2x = 0$ $2x = 2$ $x = 1$

Тепер ми знаємо, що $x = 1$ - це критична точка функції. Давайте знайдемо значення другої похідної для аналізу монотонності та типу екстремуму в точці $x = 1$.

3. Знайдемо другу похідну функції $f(x)$: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(2 - 2x) = -2$

Друга похідна $f''(x)$ від'ємна, що свідчить про те, що функція $f(x)$ має локальний максимум в точці $x = 1$.

Тепер знайдемо значення функції $f(x)$ в цій точці, щоб знайти значення екстремуму:

4. Підставимо $x = 1$ у вихідну функцію $f(x)$: $f(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

Таким чином, ми знайшли точку екстремуму, яка має координати $(1, 1)$, та значення функції в цій точці дорівнює 1.

Тепер ми можемо визначити проміжки монотонності:

• Для $x < 1$, $f'(x) = 2 - 2x > 0$, отже, функція зростає на цьому проміжку.
• Для $x > 1$, $f'(x) = 2 - 2x < 0$, отже, функція спадає на цьому проміжку.

Отже, функція $f(x)$ має максимум в точці $(1, 1)$, і вона зростає на відрізку $(-\infty, 1)$ і спадає на відрізку $(1, \infty)$.